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P. Alexandroff.

aus einer gemeinsamen Seite 3 ) der beiden Simplexe bestehenden Durch-schnitt besitzen. Falls dabei der eine Simplex p- und der andere q -dimen-sional ist (p < q), so kann der g-dimensionale Simplex den p- dimensional enals eine seiner Seiten enthalten.

Ein höchstens n-dimensionaler Komplex heißt n- dimensional, wennunter seinen Simplexen wenigstens ein n-dimensionaler vorkommt.

Wir werden immer zu den den Komplex bildenden Simplexen auchalle ihre Seiten zählen, so daß, wenn ein Komplex

(1) $ = {S lt S 9 ,...,Sx}

vorliegt (wobei S 1} S<¡, ... , Si die den Komplex $ bildenden Simplexe sind),sich unter den Sj_, S 2 , • • Sx auch alle Seiten dieser Simplexe befinden.Diese Eigenschaft eines Komplexes dürfte als seine Vollständigkeit be-zeichnet werden und wird im folgenden stets vorausgesetzt.

2. Es soll von Anfang an folgende Bemerkung gemacht werden. Inder Topologie, ebenso wie in der elementaren Geometrie, ist ein n- dimen-sional er Simplex immer durch seine n -f- 1 Eckpunkte vollständig bestimmt,so daß zwei dieselben Eckpunkte besitzende Simplexe untereinander iden-tisch sind.

Daraus folgt, daß der topologische Simplex nichts anderes als dasSystem seiner n + 1 Eckpunkte ist, also eigentlich eine endliche Mengevon Elementen feines bestimmten Elementenvorrates), die „Eckpunkte"heißen. Die Dimension des Simplexes ist einfach die um eine Einheitverminderte Kardinalzahl dieser Menge; die Seiten des Simplexes sindTeilmengen derselben endlichen Menge.

Wir können also folgende Definition aufstellen:

Es sei eine unendliche Menge W gegeben, deren Elemente Eckpunkteheißen sollen, und von der weiter nichts vorausgesetzt wird.

Eine aus n -j- 1 verschiedenen Elementen der Menge W bestehendeMenge S heißt ein n-dimensionaler Simplex (n = 0,1,2,...); dieechten Teilmengen der Menge S (die also r-dimensionale Simplexe sind,0<¡?"<^?i— 1) heißen (die r-dimensionalen) Seiten des Simplexes S.Der Simplex S selbst kann auch als seine uneigentliche (n-dimensionale)Seite betrachtet werden.

Der Simplex S heißt größer als T , falls T eine Seite von S ist.

Zwei Simplexe heißen benachbart, falls sie (als endliche Mengen be-trachtet) einen nichtleeren Durchschnitt haben. Dieser Durchschnitt istdann stets eine gemeinsame Seite der beiden Simplexe.

Eine endliche Menge von höchstens w-dimensionalen Simplexen, unter

3 ) Dabei ist unter einer 0-dimensionalen Seite ein Eckpunkt zu verstehen.