Simpliziale Approximationen in der allgemeinen Topologie. 491

denen wenigstens ein n-dimensionaler vorkommt, heißt ein n-dimensionalerKomplex; diese Simplexe selbst und ihre Seiten heißen Elemente desKomplexes 4 ).

II. Ein einleitendes elementares Beispiel.

3. Es sei R eine Kreislinie. Wir teilen R in 2 m+1 (gleiche) Bögenund nennen den, aus diesen Bögen (und ihren Endpunkten) gebildeten,geometrisch vorliegenden, eindimensionalen Komplex. Jeder Punkt xcRist entweder nur in einem Bogen aus enthalten, oder es ist x dergemeinsame Endpunkt zweier Bögen.

Indem wir durch $î m den zu ÍI,* dualen Komplex 5 ) bezeichnen, ent-spricht jedem Punkte x<=R entweder ein einziges 0- dimensionales Elementvon $ m , oder zwei zu einem und demselben 1-dimensionalen Elementegehörende 0-dimensionale Elemente, und dann dieses 1 - dimensionale Ele-ment selbst.

Jedem Punkte xcR entspricht jedenfalls ein einziges Maximalelementvon ( d. h. ein in keinem größeren, dem Punkte x entsprechenden Ele-mente enthaltenes Element), und dann entsprechen dem Punkte x auchalle (höchstens 2) Seiten dieses Maximalelementes.

Da dies für jedes m gilt, so enspricht jedem Punkte xcR eindeutigeine Kette

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wobei S .x das einzige, dem Punkte x entsprechende Maximalelement ansist.

4. Nun müssen wir genauer einsehen, was eigentlich eine Kette ist.

Verschiedene Komplexe (m = 1, 2, 3, ...) werden untereinander

dadurch verbunden, daß gewisse Systeme von Simplexen, die zu verschie-denen gehören, wenigstens einem Punkte xa R gleichzeitig entsprechen(dabei jedoch nicht notwendig als Maximalelemente). Falls wir durchS m , im irgendein Element des Komplexes Îï m und durch das be-

4 ) Es sei an dieser Stelle bemerkt, daß die ganze kombinatorische Topologiesich auf diesen Boden übertragen läßt. Der Ansatz dazu ist in meiner Arbeit „ ZurBegründung der n-dimensionalen mengentheoretischen Topologie (Math. Ann. 94, S. 296)gegeben.

Ich möchte noch besonders betonen, daß dieser Standpunkt überhaupt erst da-durch ermöglicht ist, daß Brouwer zum ersten Male die Mannigfaltigkeitstopologieauf den Begriff des Simplexes gestützt hatte (Math. Ann. 70, 71, 72).

5 ) Der aus S } * dadurch entsteht, daß man jedes 0- dimensionale Element von S'mdurch ein 1 - dimensionales ersetzt und umgekehrt.

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