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P. Alexandroff.

treffende Element von £* ( bezeichnen, nennen wir ein System von (0-oder

1 - dimensionalen) Elementen

(3 0 ) [Äi t<1 , S$ t ¿ u , ..i m ]

ausgezeichnet, falls alle diese Elemente gleichzeitig einem Punkte x<=Rentsprechen (d. h. einfach, falls der Durchschnitt aller Simplexe S* io S*i■■■,S*, im nicht leer ist).

Eine Folge von der Gestalt

(4Q) $2,¿ 2 I • • •> • • •

soll dann ausgezeichnet heißen, wenn jeder ihrer Abschnitte [iS^, $2,i 25 • • •,S m , i,„ ] ausgezeichnet ist.

Eine Kette ist dann nichts anderes als eine ausgezeichnete Folge, dieihre Eigenschaft, ausgezeichnet zu sein, verliert, wenn man irgendeins ihrerElemente durch ein größeres ( also ein 0 - dimensionales Element durch eineindimensionales) ersetzt.

Wir haben gesehen, daß zu jedem Punkte xczR eine einzige Kette(4 0 ) gehört, und dann ist x der einzige, in allen Simplexen S* iim ent-haltene Punkt.

Aber auch umgekehrt bestimmt vermöge letzterer Vorschrift jedeKette einen einzigen (zu allen S*, im gehörenden) Punkt x<= R.

Zwei Ketten, ( 4 0 ) und

(5 0 ) $1,7!) • • •» ■ ■ •

sind verschieden, falls wenigstens für ein m S m j m von S m , ,- m verschiedenist. Dann sind aber auch die entsprechenden Punkte x und y verschieden,und folglich sind von einem bestimmten m an die beiden Simplexeund Sm : j m nicht nur verschieden, sondern auch zueinander fremd.

Zwei verschiedene Ketten (4 0 ) und (5 0 ) können also nicht unendlichviele benachbarte Elemente und S m j,„ enthalten, d. h. die Bedingung 4°des § 7 ist erfüllt.

Offenbar sind auch die Bedingungen I o , 2°, 3° des § 6 erfüllt.5. Wir betrachten jetzt folgendes, die Kreislinie als topologischenRaum definierendes Umgebungssystem.

Falls x ein gemeinsamer Endpunkt zweier Bögen des Komplexes $,*ist, so erklären wir als die m-te Umgebung U m (x ) des Punktes x dieMenge aller Punkte der beiden in x anstoßenden Bögen von S',*, mit Aus-nahme der beiden von x verschiedenen Endpunkte dieser Bögen.

Falls aber x nur zu einem Bogen des Komplexes gehört, so sollTJ m {x) aus allen inneren Punkten dieses Bogens bestehen.

Auf diese (übrigens einzig denkbare) Weise wird für jeden Punkt xund jedes m eine U m {x) bestimmt.