Simpliziale Approximationen in der allgemeinen Topologie.

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Es sei nun

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die dem Punkte x entsprechende Kette und y irgendein anderer Punktder Kreislinie R. Wenn man durch

die dem Punkte y entsprechende Kette bezeichnet, sieht man sofort ein,daß y dann und nur dann zu U m (x) gehört, wenn S 1 j i , S %J ^, ..., S m .j„,bzw. in S lt i„ /Si.i,, ..., S m ,i m enthalten sind.

Es gilt also folgende Regel:

Die m-te Umgebung des Punktes x besteht aus denjenigen Punkten,deren entsprechende Ketten als ihre ersten m- Elemente (echte oder unechte)Teilelemente der betreffenden Elemente der zu x gehörigen Kette haben.

Auf diese Weise wird unsere Kreislinie wirklich durch die Folge (2 0 )als topologischer Raum definiert. Die „topologische Approximation" derKreislinie durch die Komplexe (2 0 ) erhält dadurch einen ganz präzisenund mit unsrer Anschauung vollkommen übereinstimmenden Sinn. Wirwollen nun zeigen, daß dieser Sinn auch für beliebige kompakte metrisier-bare Räume derselbe bleibt.

III. Der allgemeine Begriff der topologischen Approximation.

6. Definition I. Eine abzählbare Folge von Komplexen

wird zu einem Spektrum, sobald ein Gesetz gegeben ist, welches gewisse,zu verschiedenen gehörige Elemente zu ausgezeichneten Systemen, dieauch Gruppen heißen sollen, derart zuordnet, daß dabei folgende Be-dingungen zur Geltung gebracht werden:

I o . Jede Gruppe 6 ) hat die Gestalt(3) S m , (,„]•

2°. Jeder Abschnitt einer Gruppe (3) (d. h. jedes System [Ä aiil ,...,wo m' < m ist) ist wiederum eine Gruppe, und umgekehrt ist jedes Ele-ment S m ,i„, wenigstens in einer Gruppe, und jede Gruppe als Abschnittin einer anderen Gruppe enthalten.

3°. Jedes ausgezeichnete System bleibt ausgezeichnet, falls man in ihmirgendein Element durch ein Teilelement (= eine Seite) ersetzt.

Definition II. Ein Spektrum heißt endlich- und zwar n-dimen-sional, wenn alle Komplexe aus denen es besteht, n- dimensional sind.

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(2)

e ) E b sei nochmals bemerkt, daß in dieser Arbeit die Ausdrücke „Gruppe" und„ausgezeichnetes System" gleichbedeutend sind.