494 P. Alexandroff.

Ein Spektrum heißt unendlich dimensional, falls die Dimension vonmit m unbegrenzt wächst.

7. Es sei ein Spektrum (2) gegeben.

Definition III. Eine unendliche Folge von Elementen

(^0 ,¿i> ^2,i 2 > • • •' • • •

soll ausgezeichnet heißen, falls jeder ihrer Abschnitte [, So;,,...,ausgezeichnet ist.

Definition IV. Eine ausgezeichnete Folge heißt eine Kette, wennihre Eigenschaft, ausgezeichnet zu sein, verloren geht, sobald man irgend-eins ihrer Elemente durch ein größeres Element ersetzt.

Definition V. Ein Spektrum soll ein approximierendes Spektrumheißen, wenn es folgende weitere Bedingung erfüllt:

4°. Zwei verschiedene Ketten

(4) ^liii ' ,ii> • • •; • ■ •

und

( "- 1 ) S hjl , . . ., $m,j m , • • •

können höchstens endlichviele benachbarte Elemente S m¡im und S m j m ent-halten.

(Zwei Ketten heißen dabei verschieden, falls wenigstens ein Ele-ment S m ,i m der einen von dem entsprechenden Elemente 8 m j m der anderenKette verschieden ist.)

8. Unter den Voraussetzungen I o bis 4° soll ein approximierendesSpektrum den („durch dieses Spektrum approximierten ") Raum R ineindeutiger Weise folgendermaßen bestimmen:

Jede Kette (4) des Spektrums soll „Punkt des Raumes R" heißen,

) X — , $2, j • • • , S m , i m ; • • •) '

der Simplex S m , i m soll die m-te Koordinate des Punktes x heißen, unddie m-te Umgebung des Punktes x soll aus allen denjenigen Punkten

( 7 ) y =(s ii, St.jt» ■■■, s m , jm ,...)

bestehen, deren sämtliche ersten m Koordinaten in den entsprechendenKoordinaten des Punktes x enthalten 0 a ) sind:

(8) Sjc,j k Sjc.ib, für alle k <^m .

"*) Der Leser sei nochmals darauf aufmerksam gemacht, daß eine Koordinateein Simplex, und ein Simplex eine endliche Menge ist. — Es sei noch endlich dieselbstverständliche Bemerkung gemacht, daß zwei verschiedene Ketten als verschiedenePunkte des Raumes R betrachtet werden.