Simpliziale Approximationen in der allgemeinen Topologie.

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9. Es besteht

IV. Der Hauptsatz.

Jeder durch ein (approximierendes) Spektrum definierte Raum istein kompakter metrisierbarer topologischer Raum. Umgekehrt kann jederkompakte metrisierbare Raum durch ein Spektrum approximiert werden ;dabei ist die Dimension des Raumes der kleinsten Zahl (n oder oo)gleich, die als Dimensionszahl eines diesen Raum definierenden Spektrumsvorkommt.

Beweis. Vorbemerkung. Wir machen zuerst noch einen rein termino-logischen Schritt in der Definition des Simplexes weiter: Im § 2 habenwir betont, daß wir keine Voraussetzung über die Natur der Elementeder Menge W machen; da aber für unsere Zwecke genügt diese Mengeals eine abzählbare Menge vorauszusetzen, so treffen wir von jetzt an dieVerabredung, W sei die Menge aller natürlichen Zahlen. Ein w-dimen-sionaler Simplex wird dadurch zu einer, aus n -|- 1 verschiedenen natür-lichen Zahlen bestehenden, Menge ').

10. Zuerst beweisen wir, daß unser durch das Spektrum (2) definierterRaum R ein topologischer Raum ist.

A 8 ). Jeder Punkt x hat wenigstens eine Umgebung (in unserem Fallesogar abzählbar viele Umgebungen) und ist in jeder seiner Umgebungenenthalten.

B. Es sei U p (x) die p- te und U q (x) die q- te (p <^g) Umgebungdes Punktes x. Dann ist offenbar U p (x)-U J (x) = U q (x).

C. Es sei der Punkt

(^ ) y = [ß uil , s«,j 2 ,..., S m j m ,... i

in U m (x ) enthalten, wobei

( ^ ) X = (S± , , S 2 , in ) ' S-fll, i ln , . . . )

ist. Dann gelten die Inklusionen(8) Sjc,j k C : S]e ,i k , für alle k <Lm .

Ealls nun z ein Punkt von U m (y ) ist, wobei

( 9 ) Z = ( S± l ji 1 , S 2, Aj , • • • > S m • • • ) )

so ist

Sic,h/c c: (k = 1 ,2,..., m),

7 ) Es braucht kaum erwähnt zu werden, daß diese Verabredung nur aus Be-quemlichkeitsgründen getroffen und keineswegs wesentlich ist; übrigens berührt sieauch gar nicht die Allgemeinheit unserer Überlegungen.

8 ) A, B, C, D sind die bekannten vier Hausdorffschen Axiome des topologischenRaumes bzw. die Beweise ihrer Geltung im Räume B.