496 P. Alexandroff.

also zufolge (8)

^k,hk £>k,ik (^ = 1j 2, Wl),

was nichts anderes als zczJJ m (x) bedeutet. Da z ein beliebiger Punktvon u m (y) war = so ist u m (y)^ u m (x).

D. Es seien x und y ((6) und (7)) zwei beliebige (verschiedene)Punkte von R. Dann sind die Ketten (6) und (7) verschieden. Es gibtalso (zufolge der Voraussetzung 4° des § 7) ein erstes derartiges m, daßS/c,i k ur| d S¡c,j k nicht benachbart sind, sobald 1c7>m ist.

Ich behaupte nun, daß U m (x)'U m {y) = 0 ist. Es sei, entgegen derAnnahme, z ein (durch (9) gegebener) Punkt von U m (x)-U m (y). Dannist, u. a.,

£>m,h m 'S«,»,,, Und c S mt j m ,

was der Definition der Zahl m widerspricht.

Die Umgebungen U m (x) genügen also den vier Hausdorffschen AxiomenA, B, C, D, was beweist, daß R ein topologischer Raum ist.

Bemerkung. Um dieses letztere Ergebnis zu erhalten, würde esgenügen, die Voraussetzung 4° des § 7 durch eine viel schwächere zu er-setzen, nämlich:

Falls für jedes m S m ,• S m ,/„,=)= 0, so sind die Ketten (3) und (5)identisch.

Die Notwendigkeit der Voraussetzung 4° in der ursprünglichen Gestaltwird sich aber bald erweisen.

11. R ist kompakt. Es sei in der Tat

(10) M — {x,.} (v = 1, 2, ... in infinitum)eine abzählbare, in R gelegene Menge, wobei für jedes v

(11) x, = {8 lt ¡ m , s 2t <<v> ,..., s mi .m ,

ist.

Da ¿i 1 À 1 ist (vgl. (2)), so gibt es wenigstens eine natürlicheZahl ^ a 1 von der Beschaffenheit, daß für unendlich viele Werte von v

(is,)

ist, und dann ist [S 1;i o] eine Gruppe. ([<S l f o] bedeutet dabei die ausdem einzigen Elemente S lyi o bestehende Menge.)

Es sei jetzt vorausgesetzt, daß wir eine Gruppe

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von der Art bereits konstruiert haben, daß unendlich viele Werte von vexistieren, für die gleichzeitig

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