Simpliziale Approximationen in der allgemeinen Topologie.

497

ist. Das heißt, daß es unter den Punkten (11) unendlich viele gibt, derenerste m Koordinaten der Reihe nach

( l3 m) S lti 0, 8 a>i 0, ..., S m¡i O

sind. Da nun die (ra-(-l)-te Koordinate nur endlich viele Werte an-nehmen kann, so existiert ein bestimmtes ¿,° + 1 von der Art, daß es (unterdenjenigen x v , deren erste m Koordinaten der Reihe nach die Werte ( 13 )j; )

haben) unendlich viele Punkte gibt, die den Simplex S m + 1 o als ihre

~ l m+i

(»i + l)-te Koordinate haben. In dieser Weise erhalten wir eine Folge' 4<>) ^1, ¿° > $2, t? ' • • • > i° . • "i

1 2 771

die u. a. die Eigenschaft hat, daß für beliebiges m die Menge der erstenm Elemente von (4 0 ) eine Gruppe ist. (4 0 ) ist also eine ausgezeichneteFolge. Falls überdies (4 0 ) eine Kette ist, so ist unsere Konstruktion be-endigt. Falls nicht, unterziehen wir (4 0 ) folgender Transformation. Wirersetzen, wenn dies möglich ist, ohne daß die Eigenschaft der Folge (4 0 ),ausgezeichnet zu sein dabei leide, >S 1-( o durch ein größeres Element 8 lmöglichst hoher Dimension und lassen alle anderen Elemente von (4 0 )ruhig auf ihren Plätzen stehen. Dadurch wird (4 0 ) in eine Folge (4 X )verwandelt, deren Elemente S m i i heißen sollen (ra = 1,2,..., in inf.).(4j) ist dann wieder eine ausgezeichnete Folge.

Es sei die ausgezeichnete, aus den Elementen S m ,r bestehende

m

Folge (4 r ) bereits konstruiert. Wir untersuchen das Element $ r+1 { rund ersetzen, falls dabei der ausgezeichnete Charakter von (4 ) nichtzerstört wird, dieses Element durch ein größeres, möglichst hoher Di-mension. Falls letzteres aber unmöglich ist, lassen wir $ r+] unver-

' T-\-1

ändert. Alle übrigen Elemente von (4 ; .) lassen wir jedenfalls unver-ändert. Die durch dieses Verfahren entstandene Folge ist ausgezeichnetund soll (4 r+t ) heißen; ihre Elemente werden dementsprechend durch„•'■+1 bezeichnet.

m ' m

In dieser Weise entsteht für jedes r die ausgezeichnete Folge (4.),wobei

(14) S r i r = Ä r i r+i = S r i r+-i = ... in inf.

ist.

Wir setzen jetzt für jedes m

• m

Im — ^rti

und erhalten so die (auf Grund der Identitäten ( 14)) ausgezeichnete Folge

( ^ ) , ii J $2, i» 3 • • • 5 , im J • • • •