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P. Alexandroff.

Ich behaupte nun, daß letztere Folge eine Kette ist.

In der Tat, wenn dies nicht der Fall wäre, so könnte man in (4)ein bestimmtes Element S m „• durch ein größeres Element /SL . ' ersetzen,

' m m

so daß dadurch die ausgezeichnete Folge

(4) ,¿ a ' S 3Í S mí ...

entsteht. Dann wäre aber auch die Folge( 4 m) S l,i™> S 2 •••> S m,i4»

ausgezeichnet, und das Element S m i m wäre falsch gewählt.

Die Ketteneigenschaft der Folge (4) und die Existenz des Punktes

(^) ^ = (Äl.iji $2,i 2 i • • • 9 ' ' *)

ist hiermit bewiesen.

Nun haben wir bereits gesehen, daß es für jedes to unendlich vielePunkte a; v (siehe (11)) gibt, die gleichzeitig den Inklusionen

i= iS 2ji n

genügen.

Das bedeutet aber, daß a; ein Häufungspunkt der Menge (11) ist.

Die Kompaktheit des Raumes i? ist hiermit bewiesen.

Um jetzt zu zeigen, daß i? nicht nur kompakt, sondern auch metri-sierbar ist, genügt es, einem bekannten Urysohnschen Metrisationssatzegemäß, die Geltung des II. Abzählbarkeitsaxioms in R zu beweisen. Zudiesem Zwecke betrachten wir einen beliebigen, durch (6) gegebenenPunkt X des Raumes R und eine beliebige Umgebung U m (x) diesesPunktes.

U m (x) ist die Menge derjenigen Punkte von R , deren erste m Ko-ordinaten der Reihe nach in S it S miim enthalten sind. JedeU m ( X) ist folglich durch die Kenntnis der natürlichen Zahlen i 1 , i„, ..., i min der hier gegebenen Reihenfolge vollständig bestimmt. Da es aber nurabzählbar viele endliche Folgen natürlicher Zahlen gibt, so ist auch dieMenge aller verschiedenen U m (x) abzählbar, womit die Metrisierbarkeitdes Raumes R bewiesen ist.

Von jetzt an sei R als ein kompakter metrischer Raum gedacht.

12. Wir untersuchen zuerst den Fall, wo das Spektrum (2) endlich —und zwar n- dimensional ist, und beweisen, daß dann auch R höchstens