Simpliziale Approximationen in der allgemeinen Topologie. 499

von der Dimension n ist. Der Beweis stützt sich auf einen von Urysohnherrührenden dimensionstheoretischen Fundamentalsatz.

Um diesen Satz bequem formulieren zu können, führen wir folgendeHilfsdefinition ein.

Es sei e eine beliebige positive und p eine natürliche Zahl. Einendliches System von in einem metrischen Räume R gelegenen, ab-geschlossenen Mengen

FF F

1 ' 2 ' ' x s

soll eine (e, p) - Überdeckung des Raumes R heißen, falls folgende Be-dingungen erfüllt sind:

S

a) Die Vereinigungsmenge F i ist mit dem ganzen Räume R identisch;

i= 1

b) die Durchmesser ô (F { ) der Mengen F { (¿ = 1,2,...,«) sind sämt-lich < e ;

c) es gibt keinen Punkt des Raumes R, der mehr als p unter denMengen F i angehört.

Dann lautet der Urysohnsche Fundamentalsatz 9 ) folgendermaßen :

Damit ein kompakter metrischer Raum R die endliche Dimension nhat, ist notwendig und hinreichend, daß es für jedes e > 0 eine (e,« + l)-Überdeckung des Raumes R gibt, für ein hinreichend kleines e dagegenkeine (e, n) - Überdeckung.

Wir müssen also jetzt beweisen, daß es für unseren, durch dasti - dimensionale Spektrum (2) definierten kompakten metrischen Raum Rstets eine (e. n + 1)-Überdeckung gibt und zwar für jedes noch so kleine

•e > 0.

Wir bezeichnen zu diesem Zwecke durch F m ¿ die Menge aller Punktevon R, deren m-te Koordinate den Simplex 8 mi enthält, und be-weisen zuerst, daß F m i stets eine abgeschlossene Menge ist. Es sei inder Tat

(6) X = t i 1 , $2 ,i 2 , . . .. S m , i, n , • • •)

ein Häufungspunkt der Menge F m i . Die Umgebung U m (x) enthält Punktevon F tni , was u.a. bedeutet, daß S m t im die m-te Koordinate wenigstenseines, der Menge F m i angehörenden Punktes enthält, woraus, vermöge derDefinition von F mti , die Inklusion S m , im => S m ,i folgt, die eben aussagt,daß X ein Punkt von F m ¿ ist.

9 ) Urysohn, „Mémoire . . ." Kap. V (Fund. Math. 8, S. 301).