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P. Alexandroff.

Jetzt beweisen wir weiter, daß für jedes e > 0 eine derartige natür-liche Zahl m r existiert, daß die Ungleichung

( 15 ) HF m ,ù<e

für alle m m e gilt.

Es sei in der Tat letztere Behauptung falsch. Dann gibt es eina > 0 und unendlich viele Mengen

(16) Fm,, j>] ) •••; F mkt p k , . . .

für die sämtlich <5 a ausfällt.

Es seien nun für jedes k x k und y k zwei zu F m/t¡Pl . gehörende Punkte,deren Entfernung u ist. Indem man, wenn nötig, die Folge (16) durcheine Teilfolge ersetzt, darf man voraussetzen, daß die x k bzw. y k gegen xbzw. y konvergieren, wobei

( 6 ) x = (Si )il , S 2 , ü _, ...)

und

y = j'i' • • ') 8m,jm> • • •)

zwei Punkte des Raumes R sind, deren Entfernung mindestens a beträgt,die also sicher verschieden sind.

Nun wollen wir zeigen, daß im Widerspruche mit der Voraussetzung 4°des § 7 die beiden Inklusionen

O 7) ^mk, Vk t= ^vik , i mk > Vk c $mk, j m/ .

für jedes k gelten.

Es sei in der Tat k beliebig gewählt.

Indem wir die m-te Koordinate von x bzw. « durch S .r bzw.S m .r bezeichnen, wählen wir r so groß, daß

(18) x r <= U mk (x ) und y r c TJ mk (y)ist und also die Inklusionen

(19) S .r C 8 . , S .r cz s .

K ' m k ' l m k m k-hnk m k'1m k m h^m kgelten.

Da nach der Definition von x r und y r

(20) S .r => S und S .r => S ,

K ' m k> x mk mk,Pk m k')m k mktPit'

so ist a fortiori die Inklusion (17) richtig.

Die Relation (15) ist hiermit bewiesen.

Wir bezeichnen jetzt durch

(21) 0?,