Simpliziale Approximationen in der allgemeinen Topologie.

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diejenigen unter den Mengen F m i# welche O-dimensionalen Elementen S ,•des Komplexes entsprechen, und beweisen, daß sie (für m ^ m t ) eine(e, n + 1)-Uberdeckung des Raumes R bilden. Dazu zeigen wir erstens,daß (für jedes m, ) der Raum in der Vereinigungsmenge der Mengen (21)enthalten ist, zweitens, daß es keinen Punkt xcz R gibt, der zu mehr alsTi+l Mengen des Systems (21) gehört.

Wir fangen mit dem Beweise der letzten Behauptung an. Fallsder Punkt

( t> ) X ( S 1 ¡ S-2, • . ■ , Sm,im> • • • )

zu mindestens n + 2 verschiedenen Mengen <Z>" 1 gehörte, so würde diem-te Koordinate von x, d. h. der Simplex S m¡ím , die entsprechenden null-dimensionalen Elemente S Mi i, also mindestens n- (-2 verschiedene Eck-punkte enthalten, d. h. von der Dimension n + 1 sein. Das widersprichtaber unserer Voraussetzung.

Die erste Behauptung, d. h. die Identität

v m

(22) R = 2<-K>

1= 1

folgt einfach daraus, daß jeder Punkt (6) des Raumes R in der ent-sprechenden Menge und also a fortiori in jeder einem Eckpunktevon S m¡ i m entsprechenden Menge 'P™ enthalten ist.

Der Beweis der Tatsache dim R <^n ist hiermit erbracht.

13. Es sei jetzt G ein w-dimensionaler kompakter metrischer Raum.Um zu zeigen, daß G sich durch ein n- dimensionales Spektrum approxi-mieren läßt, betrachten wir eine gegen Null konvergierende Folge positiverZahlen s m , die alle klein genug sind um die Existenz einer (e m , w)-Über-deckung des Raumes G auszuschließen. Wir wählen alsdann für jedes meine bestimmte (e m , n + 1)-Überdeckung

(23) <5f, &Z ,

und konstruieren einen n-dimensionalen Komplex folgendermaßen:

Ein Simplex S = (s v s 2 ,.. .,«,.), wo s 1 , s 2 ,.. ,,s r beliebige (verschiedene)natürliche Zahlen sind, soll dann und nur dann dem Komplex an-gehören, falls die Menge

(24) <i>z- .... = $? S]

nicht leer ist (dabei wird für s > v m definitionsgemäß C P™ leer voraus-gesetzt). Es ist unmittelbar klar, daß mit dem Simplex S auch jeder Teil-simplex von S dem Komplex angehört, daß also die in § 1 aus-gesprochene Vollständigkeitsbedingung erfüllt.