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P. Alexandroff.

14. Die Folge der in dieser Weise definierten, offenbar n-dimensionalen,Komplexe wird zu einem w-dimensionalen Spektrum, indem man folgendeVerabredung trifft.

Es seien

( 25 ) $m,l j ^m, 2 ! ■ • • ? $m, A„,

die Elemente von (m = 1,2,... in inf.). Wir sagen dann, daß dasElementensystem

(26) [S hil , S 2 ,

eine Gruppe ist, falls

(27) + 0ist.

Zuerst ist, zufolge (24), <= > sobald S=>S* ist, woraus folgt,daß die Bedingung (27) erfüllt bleibt, falls man irgendeins der ElementeS k< i k (/c <Lm) durch Teilelemente ersetzt. Also ist die Voraussetzung 3°des § 6 erfüllt.

Die zweite Hälfte der Voraussetzung 2° folgt daraus, daß keine derMengen (s <1 v m ) leer ist. Das Erfülltsein der Voraussetzung I o undder ersten Hälfte der Voraussetzung 2° bedarf keines Beweises.

Bleibt nur übrig die Voraussetzung 4° des § 7 zu verifizieren, unddas geschieht wie folgt. Es sei eine ausgezeichnete Folge

(28) - • •) 8m,im> ■ • -gegeben. Zuerst behaupte ich, daß die Durchschnittsmenge

(29) I[$ IS ,

m, l m -m—i

einen und nur einen Punkt Xi ít j mj ... enthält.

In der Tat, da (28) eine ausgezeichnete Folge ist, so ist keine von

m

den abgeschlossenen Mengen F m = // ( i\s k ik ] leer, also ist, da F m => F m +1

der Durchschnitt aller F m , der ja mit (29) übereinstimmt, nach demin jedem kompakten Räume gültigen Cantorschen Durchnittsatze eben-falls nicht leer. Die Menge (29) kann aber unmöglich mehr als einenPunkt enthalten, da <5(0"'), also a fortiori ô ( ¿j), a l so a fortiori d[F m )

mit — unendlich klein wird.

m

Es seien jetzt (28) und(30) S% t j 1 , So, jzj • • •> S m< j m , ...

zwei „benachbarte" ausgezeichnete Folgen (d. h. es seien unendlich vieleElemente S mk ,i k und S m j k (¿=1,2,3,...) benachbart).