Simpliziale Approximationen in der allgemeinen Topologie. 503

Falls

ik ' & m/¡ , jk = £*mki l>k

ist, so ist, nach (24)

( 3I ) = r/j ['V, ú- ] + 0iS m k , «1

Da aber ô(& [Sm/ 7¡/ i) mit ~ gegen Null strebt, so ist zufolge (31)

auch

lim ô ( (Pis • i "l - • j) = 0 .

7 v l °Wfc> %k* ?A J/

K->CO

Die beiden Punkte und ... gehören aber zu

jeder der Mengen

.!+<?[« .i (¿=1 ,2,... in inf.).

1,5 »ía, ¿A j 1 i/.- \ » > /»

sie sind also notwendig identisch:

(31*) x = x ii, h im, •

Nachdem dies bewiesen ist, setzen wir voraus, daß die benachbartenausgezeichneten Folgen (28) und (30) Ketten sind, und zeigen, daß siedann notwendig identisch sind.

Im entgegengesetzten Falle würde es in der Tat wenigstens ein Paarverschiedener Elemente S miim und 8 m j,„ geben. Da die Elemente S m ,und S m .j m verschieden sind, so gehört wenigstens ein Eckpunkt des einendieser Elemente nicht dem andern an, und also ist die Kardinalzahl derMenge S m ,i m + S m ,j, n größer als die Kardinalzahl jeder von den MengenS m , im und S m . jm .

Wir bezeichnen nun die natürlichen Zahlen, aus denen S m ,i m bzw. 8 m ,j mbe st eht, du rch r 1 , r 2 , ..., r p bzw. ^ , i 2 ,..., t q ; es seien außerdem s 1 , s 2 ,..., s ralle verschiedenen unter den Zahlen r 1 , r 2 , ..., r , t t , i 2 , ..., t q .

Dann ist zufolge (24) und (29)

x = x- ■ • <=cp m .cß m . .0 1 ' 1

^ »t 2 » •••» t*> •••— T 1 ••• Tp

und

xz=x . <= çp™ .

^ X Jl> Ii, ■■■, 1k, ■■■ ^¡1 t q'>

also

(32) *= K-K- ••• -K-

Die Menge der natürlichen Zahlen s 1 ,s 2 ,...,s r ist also ein zumKomplex gehörender Simplex S m , hm , und zwar enthält S m , diebeiden Simplexe S m , ¿ m und S m j m als echte Teilmengen.

Die Folge

( 33) Sl : , S 2, i 2 , ■ ■ • ) Sm— 1, im- j ' I I'm ' im + i> ' ' •