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P. Alexandroff.

ist also, zufolge den Relationen

* = <*.- = •• •

(k=l, 2,...)und der mit (32) identischen Inklusion

X <= 0rg ]

'°m, fi/H '

eine ausgezeichnete Folge, was mit der Ketteneigenschaft von (28) imWiderspruch steht.

15. Das im § 14 konstruierte Spektrum definiert also einen Raumiü,und es bleibt uns nur übrig die topologische Identität zwischen R und Czu beweisen.

Dies geschieht wie folgt.

Wir haben im § 14 bewiesen, daß jeder ausgezeichneten Folge (28)

in eindeutiger Weise ein Punkt x iuii i k ,... von G entspricht. Das gilt

also insbesondere für jede Kette. Letzteres heißt aber, daß jedem Punktedes Raumes R ein einziger Punkt von G entspricht. Wir beweisen nunzuerst, daß diese Beziehimg zwischen R und G eine eineindeutige ist.

Es sei in der Tat x ein beliebiger Punkt von G. Wir betrachten allediejenigen unter den Mengen ( I> m , es seien & m x , 0 m x , ..., 0 m x > die den

* 4 1 \ x

Punkt# enthalten; der Simplex {i'f ; ^ ¿ * } ist dann ein bestimmterSimplex S m .i m des Komplexes Sï m . Man sieht leicht ein, daß

( ) ^1. ¿1 3 $2 , i 2 > • • ■ 5 im 5 • • •

eine Kette ist, und daß der Punkt x mit dem durch die Kette (28) nach

der Vorschrift des §14 definierten Punkte x^ _ i k ,... (=dem einzigen

Punkte der Menge (29)) identisch ist.

Daß ein Punkt x in dieser Weise unmöglich zwei verschiedenenKetten (28) und (30) entsprechen kann, beweist man leicht, indem mandas von der Relation (31*) zur Folge (33) führende Raisonnement desvorigen Paragraphen wörtlich wiederholt. (Die Relation (31*) ergibt sich

daraus, daß der Punkt x selbst als ein mit ... und iti ...

gleichzeitig identischer Punkt vorausgesetzt war).

16. Nachdem die eineindeutige Beziehung zwischen den Punkten von Rund G festgestellt ist, kann man einfach die Punkte von R mit den ent-sprechenden Punkten von G identifizieren; dann haben also die beidenRäume R und C denselben Punktvorrat. Um jetzt die Homöomorphieder beiden Räume R und C zu beweisen bleibt nur übrig zu zeigen,daß das (durch das Spektrum definierte) Umgebungssystem von R mitdem System aller sphärischen Umgebungen von G gleichwertig ist.