Simpliziale Approximationen in der allgemeinen Topologie. 505

Um letzteres Ziel zu erreichen genügt es die folgenden zwei Tat-sachen zu verifizieren:

I. Jede Umgebung U m {x) (siehe §§ 8 u. 10) ist ein Gebiet (=eineoffene Menge) rel C.

II. Für ein beliebiges e > 0 und einen beliebigen Punkt x gibt es eineU m (x ) von einem Durchmesser < e („Durchmesser" ist selbstverständlichin der Metrik von G zu verstehen.)

Ad I. Es sei

( 6 ) X = ($1 > , $2, ij , . . . , S m¡ i m , . . . )

ein beliebiger Punkt von ü! ~ G. Wir bezeichnen durch V m (x) die Mengealler Punkte, deren m-te Koordinate in S m¡im enthalten ist. Dann ist

m

u m( x ) = HV k (x), und es genügt zu zeigen, daß jedes V m (x) ein Gebiet

(rel G ) ist.

Es seien nun

(34) <5», <¡>1

alle diejenigen unter den Mengen (¿ ~ 1, 2, ..., v m , siehe § 13), dieden Punkt x nicht enthalten, und W m (x) die Vereinigungsmenge allerMengen (34). W m (x) ist eine abgeschlossene, den Punkt x nicht enthaltendeTeilmenge von G. Die Behauptung I wird also bewiesen, wenn wirzeigen, daß

(35) V m {x) = C- W m (x)ist.

Es sei y ein Punkt von V m (x),

(7) y = l,fi> &2,h> •••> J •••)>

und es bestehe der Simplex S m ,j m aus den Zahlen si'", sl' n , s}'". Dannist, da (7) eine Kette ist, y unter allen Mengen <5™ nur in den Mengen

(36) 0%, &4„, ..., <P'X

1 ¿ r

enthalten. Wir zeigen nun, daß jede der Mengen (36) auch den Punkt a:enthält. In der Tat ist 8 mtjm <=S m , im , also nach (24),

^ jjj

Da aber

< 37 ) *-*<,<. n*i Vi.]

m—l

ist, so ist a fortiori also x in jeder der Mengen (36) ent-

halten.

Mathematische Annalen. 96. 33