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P. Alexandroff.

Wir haben also bewiesen, daß eine Menge den Punkt x enthält,sobald ihr y angehört. Das heißt aber, daß keine der Mengen (34) denPunkt y enthält, und also yczC— i®t.

Da y ein beliebiger Punkt von V m (x) war, so gilt die Inklusion

(38) V m (x)czC-W m {x).

Es sei jetzt z ein Punkt von G — V m {x)

(9) Z = ($i,¿ J , S 2, 7( 2 j •••, Sm,h m , •••)•

Wir wollen beweisen, daß z c=V m (x) ist, also daß

( 39 ) S m f ji m ci t i m

ist. Falls nun dies nicht richtig wäre. d. h. eine natürliche Zahl s vor-handen wäre, die wohl in S, Urllm , aber nicht in S m , enthalten ist, sowürde das bedeuten, daß die Inklusion zcíf richtig, die Inklusion x <=■dagegen falsch ist. würde also eine der Mengen (34) sein und z

würde in x l' m (x), also nicht in G — 'I' m {x) enthalten sein. Die Inklusion (39)und folglich die ganze Behauptung I ist hiermit bewiesen.

17. Ad II. Es seien xaC und e>0 beliebig, x dabei durch seine„Koordinatenentwicklung" (6) gegeben. Wir wählen m genügend großum ô ( í>¿") < E für jedes i zu haben.

Nach den Entwicklungen des vorigen Paragraphen istU m (») ^V m (x) = C- W m {x),

d. h. jeder Punkt y <= U m (x) gehört zu einer den Punkt x enthaltendenMenge Da ô(&™)<e ist, so folgt daraus, daß die Entfernung g (x, y)

für einen beliebigen Punkt y <=U m (x) weniger als e beträgt, also U m (x)in der sphärischen Umgebung S(x,e) enthalten ist, w. z. b. w.

18. Es sei jetzt C ein unendlich dimensionaler kompakter metrischerRaum.

Man kann für jedes e>0 eine natürliche Zahl n^ e) und eine (e, n (£ )j-Überdeckung folgendermaßen bestimmen. Man nimmt für jeden Punkt xdes Raumes C eine Umgebung U(x ) vom Durchmesser < e und wähltzufolge dem Borel-Lebesgueschen Satze eine endliche Zahl v f: dieser Um-gebungen aus, so daß ihre Vereinigungsmenge mit C identisch ist.

Es seien üx\ U^\ ■ ■ ., diese Umgebungen. Dann bilden die

Mengen

, <=w (i£ *<.>)

eine (e, » (£) )-Überdeckung, wobei n (f ) die Ordnung") des Systems aller