Simpliziale Approximationen in der allgemeinen Topologie. 507

<£¿ £) , t ^ V( C ), d. h. die größte Anzahl einen und denselben Punkt ent-haltender <p[ c) ist.

Wir lassen jetzt s eine gegen Null strebende Folge von Werten

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annehmen und wählen für jedes e eine Überdeckung

(23) {&?, '&?, ■ $Z} (wo v m = v Um) gesetzt ist)

von der soeben beschriebenen Art. Da C unendlich dimensional ist, sokonvergiert n m = n Cm mit m notwendig gegen oo .

Von diesem Augenblick an geschieht die Konstruktion des, den Raum Capproximierenden, Spektrums durch wörtliche Wiederholung der Uber-legungen der §§ 13 — 17. Das Spektrum ist unendlich dimensional, da

von der Dimension n m ist.

Der Hauptsatz ist bewiesen.

V. Schluß.

19. Jede topologische Eigenschaft eines kompakten metrischen Raumesläßt sich also immer in einer der folgenden Formen ausdrücken.

1. Der Raum kann durch wenigstens ein, gewissen Nebenbedingungen(die eben die in Frage stehende Eigenschaft charakterisieren) genügendesSpektrum approximiert werden.

2. Jedes den gegebenen Raum approximierende Spektrum genügt ge-wissen (soeben besprochenen) Nebenbedingungen.

Dabei ist aber zu bemerken, daß jede Nebenbedingung, der ein Spek-trum genügen kann, nichts anderes ist, als eine Eigenschaft gewisser An-ordnungen von Simplexen (also im letzten Grunde gewisser Anordnungennatürlicher Zahlen).

Die Anordnungen, die den Aufbau des Spektrums bestimmen undauf die es also allein ankommt, lassen sich in folgende drei Klassen teilen:

Anordnungen erster Art sind Anordnungen je endlich vieler „Eck-punkte" (= natürlicher Zahlen) zu einem Simplex. Sie besitzen nur eineEigenschaft und das ist die Anzahl der natürlichen Zahlen (= der Eck-punkte), die notwendigerweise in jedem den gegebenen Raum definieren-den Spektrum zu einem Simplex vereinigt werden müssen. Diese Eigen-schaft ist nichts anderes als die Dimension des Raumes.

Anordnungen zweiter Art sind Anordnungen der Simplexe zu einemKomplex Die entsprechenden Eigenschaften des Raumes sind nichtsanderes als Eigenschaften (rein kombinatorischer Natur), die möglicher-

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