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P. Alexandroff.

oder notwendigerweise den das Spektrum bildenden Komplexen zugeschrie-ben werden. Diese Eigenschaften des Raumes werden wir kombinatorischeEigenschaften nennen 10 ).

Anordnungen dritter Art sind Anordnungen endlich vieler, in ver-schiedenen Komplexen enthaltener Simplexe zu einem ^ausgezeichnetenSystem.

Die diesen Anordnungen entsprechenden Eigenschaften des Raumessind natürlich die kompliziertesten vom logischen Standpunkt aus: sielassen sich nämlich nur selten in einer „reinen", d. h. von den Eigenschaftenerster und zweiter Art unabhängigen Form darstellen. Übrigens scheintes, daß die Anordnungen dritter Art den Aufbau des Raumes im kleinen be-stimmen, soweit das ohne Hinzunahme der Dimensionseigenschaft geschehenkann.

Wir wollen nun elementare Beispiele „reiner" Eigenschaften zweiterund dritter Art geben.

20. Ein Komplex ft heißt zusammenhängend, wenn er sich nicht inzwei zueinander fremde Komplexe zerlegen läßt. (Dabei heißt ein Kom-plex $ in zwei Komplexe ftj und ft„ zerlegt, falls jedes Element von ftein Element von ft, oder ft 2 , und jedes Element von ft f (¿=1,2) einElement von ft ist.)

Man beweist leicht, daß ein Komplex ft dann und nur dann zu-sammenhängend ist, falls je zwei Elemente von ft, S 0 und S p+1 durcheine (endliche) Folge der Reihe nach benachbarter Elemente von ft, etwaSo, S 1} .S p , S p + 1 , verbunden werden können.

Es gelten folgende zwei Sätze:

I. Falls ein kompakter metrisierbarer topologischer Raum R zu-sammenhängend ist, so besteht jedes, diesen Raum approximierende Spek-trum aus lauter zusammenhängenden Komplexen.

Es sei ein den Raum R approximierendes Spektrum:

(2) ft^ft,,...,®,,,, ...

gegeben und z. B. ft m nicht zusammenhängend, also

(24) ftm = ftm + ftm,

wobei ft¿, und ft„ zueinander fremd sind.

Es seien x (l>™ bzw. die den nulldimensionalen Elementen von

ftm bzw. ft^ entsprechenden abgeschlossenen Mengen (s. §12, (21)),

10 ) Die auf diese Arbeit unmittelbar folgende Abhandlung beschäftigt sich mitkombinatorischen Eigenschaften allgemeiner Kurven, d.h. eindimensionaler Kontinua.