Simpliziale Approximationen in der allgemeinen Topologie.

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und bzw. die Vereinigungsmenge aller Mengen , (fr™ bzw. ■//>/'" ■Dann ist

(25) R = T? + TT .

Ich behaupte nun, daß die abgeschlossenen Mengen und 1 J T zu-einander fremd sind. Falls in der Tat ein zu X I'™- X I J ™ gehörender Punkte-vorhanden wäre, so würde seine m-te Koordinate S m ,i m ein Element desKomplexes und gleichzeitig auch ein Element des Komplexes ^ ent-halten. S m ,i m könnte also weder zu noch zu Sf,« gehören.

II. Wenn ein kompakter metrisierbarer Raum sich mittels eines auslauter zusammenhängenden Komplexen bestehenden Spektrums approximierenläßt, so ist er zusammenhängend.

Der Beweis dieses Satzes ergibt sich sofort (unter Berücksichtigungder am Anfang dieses Paragraphen erwähnten notwendigen und hinreichen-den Bedingung für den Zusammenhang eines Komplexes und der elemen-taren Eigenschaften der kompakten metrischen Bäume) aus einer Anwen-dung der Ungleichung ( 15) (und des diese Ungleichung enthaltenden Ab-satzes) des § 12.

Wir sehen also, daß die Eigenschaft eines kompakten metrisierbarenRaumes, zusammenhängend zu sein, eine kombinatorische Eigenschaft desRaumes ist, die sich dabei in jeder der Formen 1., 2. (§19) aus-drücken läßt.

21. Dagegen ist durch den Zusammenhang im Kleinen ein Beispieleiner Eigenschaft gegeben, die sich ausschließlich auf die Anordnungendritter Art zurückführen läßt.

Um dies einzusehen, führen wir zuerst folgende Bezeichnung ein:

Es seien beliebig gegeben:

1. Ein approximierendes Spektrum (2),

2. ein nulldimensionales Element S m , im eines beliebigen, aber be-stimmten Komplexes des Spektrums (2),

3. eine natürliche Zahl s > m.

Dann bezeichnen wir durch s den Komplex, der aus allen den-

jenigen Elementen von besteht, die zu wenigstens einer, das Elemententhaltenden Gruppe gehören.

22. Man beweist jetzt leicht den folgenden Satz:

III. Damit der kompakte metrische Raum R im Kleinen zusammen-hängend sei, ist notwendig und hinreichend, daß es ein den Raum Rapproximierendes Spektrum gibt, für welches alle Komplexe Q m ,i„, )S zu-sammenhängend sind.