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P. Alexandroff.

Der Beweis läßt sich folgendermaßen skizzieren:

Zuerst beweist man, daß der Zusammenhang aller Q m ,i m ,s (m,i m fest,s > ra variabel) notwendig und hinreichend ist, damit die betreffendeMenge (§12 (21)) zusammenhängend sei. Wenn aber alle Kon-tinua sind, so folgt der Zusammenhang im Kleinen des Raumes R sofortaus der Ungleichung (15) (§ 12) und einem bekannten SierpiñskischenSatze 11 ).

Die Bedingung des Satzes III ist also hinreichend.

Um ihre Notwendigkeit einzusehen, beachte man zuerst, daß manfür jeden im Kleinen zusammenhängenden n-dimensionalen kompaktenmetrischen Raum R und für jedes e > 0 eine (e,n - j- 1) Überdeckung findenkann, die aus lauter Kontinuen besteht 12 ). Daraus folgt aber leicht, daßman R durch ein Spektrum 13 ) approximieren kann, zu dem zusammen-hängende Mengen und folglich zusammenhängende Komplexe Q m ,i,„, sgehören.

23. Aus dem letzteren Beispiele kann man die Wichtigkeit der An-ordnungen dritter Art erkennen.

Übrigens kann man auch sehr leicht Räume angeben, die gleiche Di-mension und dieselben kombinatorischen Eigenschaften haben (die sichnämlich durch aus denselben Komplexen bestehende Spektra approximierenlassen), trotzdem aber topologisch verschieden sind. Es genügt für deneinen Raum eine abgeschlossene geradlinige Strecke, für den andern diebekannte, in Cartesischen Koordinaten folgendermaßen erklärte Kurve zuwählen :

y = sin —, für 0 < x < -

X — n

— 1 <¡ ?/ <¡ 1, für x = 0 .

Beide Kurven lassen sich durch Spektra approximieren, deren sämtlicheKomplexe z. B. aus ra linear aneinander schließenden 1-dimensionalenSimplexen bestehen (man erhält also indem man einfach eine Streckein ra Teilstrecken teilt).

2i. Ich hoffe mit dieser ganzen Untersuchung gezeigt zu haben, daßzwischen der Topologie der klassischen Gebilde und der modernen mengen-theoretischen Topologie gar nicht eine so tiefe Kluft liegt, wie manes sich oft vorstellt. Vielmehr dürfte man eigentlich sagen, daß die topo-logischen Eigenschaften in beiden Fällen Eigenschaften kombinatorischenUrsprungs sind, weil sie sich als Anordnungseigenschaften gewisser end-

11 ) Fund. Math. I.

10 ) Urysohn, „Mémoire ..Kap. V (Fund. Math. 8, S. 301).

13 ) Und zwar derselben Dimension wie R selbst.