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K. Menger.

Polygonen. Nähere Angaben sind erforderlich, wie man für n ^ 2 zugleichden beiden Forderungen genügen könne, daß die Polynome einerseits < esind und anderseits gewisse „Randbedingungen" erfüllen, nämlich durchdie n vorgegebenen Punkte p i in der beschriebenen Weise hindurchgehen.Wir deuten die Konstruktion zunächst für den Fall n = 2 an. Dem ein-fachen Bogen (b 1 , 6 a ) von B lassen wir einen abgesehen von seinen End-punkten in (P) verlaufenden Streckenzug (p lt p 2 ) entsprechen. Die Längevon (p lt p a ) sei <&•£, wo k eine ganze Zahl ist. Wir zerlegen sodann Bin endlich viele Kontinua < e, B 1 , B. 2 , ..., B m , die zu je zweien höchstenseinen Punkt gemein haben und die überdies so klein bestimmt sind, daßmindestens k von ihnen, etwa die Kontinua B 1 , B. 2 , .. ., B t mit

dem Bogen (b 17 ö 2 ) Teilkontinua gemein haben (wobei einzelne Punktenicht als Kontinua aufgefaßt werden). Die Kette B 1 ,B$,...,B l vonKontinua überdeckt (b 1 , b„) vollständig und wir nehmen an, daß sie inder angeschriebenen Reihenfolge so geordnet sei, daß ein von b 1 nach b„sich bewegender Punkt von B der Reihe nach Punkte von B 1 , B. 2 , .. ., B xdurchläuft. Auf (b ¡ , 6 a ) liegen l -|- 1 Punkte

C 0 5 3 ' » • ) s + 1 ^2 '

so daß jeder der l — 1 mittleren Punkte dieser Reihe zwei aufeinander-folgenden Kontinua der Kette gemein ist. Diesen Punkten ordnen wirauf dem Bogen (p 1 , p 2 ) 11 Punkte in entsprechender Reihenfolge zu:

~ Pl ' ^1 ' ^2 ' • • •> _|_ 1 = Py ,so daß (p 1 , p. 2 ) durch dieselben in Stücke < e zerfällt. Kommen unterden B i (i > l) auch Kontinua vor, die mit (b 1 , b. 2 ) genau einen Punktgemein haben, so lassen wir jedem von ihnen ein den Bogen (p lt p 2 ) nichtdurchsetzendes Polygon P i < e entsprechen, das wir an (p x , p„) in einemPunkt ansetzen und das wir so klein wählen, daß sein Innenbereich inner-halb von (P) liegt, und daß je zwei der angesetzten Polygone zueinanderfremde Innenbereiche besitzen; gilt für den Punkt c, welcher den Durch-schnitt von B i (i > l) mit (b 1 , b. 2 ) ausmacht, Cj < c < c j+1 , bzw. c = Cj,so heften wir das entsprechende Polygon P i in einem Punkt d an, für dendj < d <d i + 1 , bzw. d = dj gilt; überdies heften wir alle in einem unddemselben Punkt d an (p 1 , p 2 ) anzusetzenden Polygone auf derselben Seitedes Bogens (p t , p„) an. Ist i ^ l, so liegen nun auf dem Bogen (d;_ 13 d { )im allgemeinen gewisse Punkte d[, dí, ..d' r , in welchen Polygone an(p l , p< 2 ) angeheftet wurden. Dann können wir aber den Bogen (d i _ 1 , d-)in ein Polygon P { < s einschließen, so daß sein Innenbereich (P ; ) zu denangehefteten Polygonen fremd ist und innerhalb (P) liegt und so, daß P i(Pi> Vi) die Punkte d[, iL', ..., d' r , d¿ und nur diese Punkte ge-mein hat. Und da in jedem Punkt dj bloß auf einer Seite des Bogens