Reguläre Baumkurven.

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auch ~B endlich und B ist nach Sätzen der allgemeinen Kurventheorie 13a )darstellbar als Summe von endlich vielen Bögen.

6. Über die Plättbarkeit der Bäume. Es gilt der Satz 13 ): Jeder reguläreBaum ist mit einem ebenen Kontinuum homöomorph.

Wir schicken dem Beweis einige Hilfsüberlegungen voraus. Seienb l , 6 a , . .b n n feste Punkte des Baumes B; (b¡, b k ) bezeichne den einzigenTeilbogen von B, der in b¡ und b k endet. Ist P ein einfaches Polygon( = ein ebenes Polygon, welches topologisches Bild einer Kreislinie ist),

dann nennen wir n Punkte p„, ..., p n von P zu den b¡ hinsichtlich

n

B isomorph, wenn eine, zur Bogensumme S — 5}(b { , b k ) homöomorphe

i,k= 1

n

Menge A(S) = 5] (p¡, p k ) existiert, die, abgesehen von den Punkten

i, k=l

p { = A{b¡), ganz im Inneren des Bereiches (P) von Fliegt. Daß zu jedemB,b i ,\, .. .,b H auf jedem vorgelegten einfachen Polygon n zu den b ihinsichtlich B isomorphe Punkte angebbar sind, wobei noch die Bögen(p., p k ) als Streckenzüge angenommen werden können, — das ergibt sichunmittelbar durch Induktion nach n.

Nun gilt folgender Hilfssatz: Seien b 1 ,b„,...,b n n feste Punktedes Baumes B; sei ferner P, p 1 , p^, ..., p n ein zu B, 6 1 , & 2 ,..., b u iso-morphes einfaches Polygon und sei e > 0 vorgegeben. Dann kann B alsSumme endlich vieler Kontinua < e, B¡, B„, .... B m , dargestellt werden,die zu je zweien höchstens einen Punkt gemein haben und zu denen in Pein isologes System P t , P 3 , ..., P m von Polygonen < e existiert. Dabeisagen wir von einem System P i , es sei zu den B i isolog , wenn folgende Be-dingungen erfüllt sind: „Je zwei von den P { haben höchstens einen Punktgemein, und zwar haben P { und P k dann und nur dann einen Punkt, p ik ,gemein, wenn B i und B k einen Punkt, b ik , gemein haben. P i hat mit P denPunkt p k dann und nur dann gemein, wenn B i den Punkt b k enthält. Ab-gesehen von den Punkten p 1 , p 2 , ..p n liegen alle P i im Inneren von (P);je zwei Bereiche (P t .) und (P ( .) sind zueinander fremd. Die auf P i ge-legenen Punkte p ik und p k liegen hinsichtlich B i zu den entsprechendenPunkten b ik und b k isomorph".

Für n < 2 kann zu jeder Zerlegung von B ein isologes System vonPolygonen < e sehr einfach konstruiert werden durch entsprechendes An-einanderheften von zu den B i isomorphen und nach Bedarf verkleinerten

i2») Vgl. Kurven S. 304.

la ) Er wird in der Arbeit von Mazurkiewicz als wahrscheinlich bezeichnet. HerrnP. Alexandroff verdanke ich wertvolle Anregungen zur Beschäftigung mit diesemProblem.