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K. Menger.

Menge Endpunkte und sonst nur Punkte von zweiter und dritter Ord-nung enthält und, wie man unmittelbar sieht, ein Baum ist Ua ).

5. Bäume und Bogensummen. Jeder Baum B ist Summe einesSemikontinuums S, bestehend aus abzählbar vielen Bögen, deren jederzwei Endpunkte des Baumes verbindet, und einer zu S fremden Menge T,die ausschließlich Endpunkte des Baumes enthält. Die Menge T kannleer angenommen werden, wenn B 1 abzählbar ist, und ist von der Mächtig-keit des Kontinuums, wenn B ' unabzählbar ist. Ein Baum 11 b ) ist Summeabzählbar vieler Bögen dann und nur dann, wenn er bloß abzählbar vieleEndpunkte enthält; er ist Summe endlich vieler Bögen dann und nurdann, wenn er endlich viele Endpunkte enthält.

Zum Beweise betrachten wir eine abzählbare, in B 1 dichte Teil-menge E von B 1 . Wir wählen irgendeinen Punkt von B ' und verbin-den ihn mit jedem Punkt der (auf Grund des oben Bewiesenen abzähl-baren) Menge E~\~ ¿ B durch jé einen Bogen. Die Summe dieser abzähl-bar vielen Bögen bildet ein Semikontinuum S. Wir zeigen, daßB — S < B ist, und leiten zu diesem Zweck einen Widerspruch her ausder Annahme, es existiere ein Punkt p von 1 B-(B — S). In der Tat, alsPunkt von 1 B müßte ein solcher Punkt auf einem Bogen G zwischenzwei Punkten e i und e 3 von E liegen. Als Punkte des Semikontinuums Swären aber e 1 und e., auch durch einen Teilbogen von S verbunden, dervon G verschieden ist, da er den Punkt p nicht enthält. Das aber wider-spricht der Baumnatur von i?. — Wenn B 1 abzählbar ist, können wir E — B 1setzen und haben eine Zerlegung von B in abzählbar viele Bögen. Ist B 'von der Mächtigkeit des Kontinuums, so kann B offenbar nicht als Summeabzählbar vieler Bögen dargestellt werden, denn jeder Endpunkt von Bmüßte Endpunkt eines der abzählbar vielen Bögen sein und jeder Bogen ent-hält nur zwei Endpunkte 12 ). Ist B l endlich, dann ist, wie man leicht einsieht,

11 a ) Diese Kurve ist in der Cartesischen Ebene die abgeschlossene Hülle derSumme aller Strecken, von denen der eine Endpunkt die Koordinaten hat

il _ } .

S = 2J • 2 ■ 3 , i] = 3 ' und deren anderer Endpunkt die Koordinaten hatk— 0

£' = f + Sj+i-2-3 k 1 und)?' = 3 k 1 , wo k = 0,1,2,..., f 0 = 0, und für k> 0entweder + 1 oder — 1 ist.

llb ) (Zusatz bei der Korrektur.) und daher natürlich auch ein kompakterBaum im kleinen (vgl. oben 6c )).

la ) Das allgemeine Problem der Charakterisierung jener regulären Kurven, dieSumme vom abzählbar vielen einfachen Bögen sind, ist noch ungelöst. Abzählbarkeitdes Endkernes ist eine notwendige, aber keine hinreichende Bedingung. Abzählbar-keit der Menge aller nicht- gewöhnlichen Punkte ist, wie ich hier erwähnen möchte,für die Zerspaltbarkeit der Kurve in Bögen weder notwendig noch hinreichend.