Reguläre Baumkurven.

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stets e (p) 4= e(q), also ist die Mächtigkeit von C 'B nicht größer alsdie Mächtigkeit der Menge aller e (p). Um zu zeigen, daß diese letztereMenge abzählbar ist, weisen wir nach, daß sie keinen ihrer Häufungs-punkte enthält. Wir leiten zu diesem Zweck aus der Annahme, daß derPunkt e(p) Häufungspunkt von den Punkten e(p n ) ist, einen Widerspruchher, und zwar in folgender Weise: Jeder der Punkte e(p n ) ist nur durcheinen einzigen Teilbogen von B mit e(p) verbunden, und jeder dieserBögen muß den Punkt p enthalten. Also sind, wenn r den Abstand derPunkte p und e(p) bezeichnet, alle Punkte e(p u ) mit e(p) bloß durchein Teilkontinuum von B verbunden, dessen Durchmesser > r ist. Diesaber widerspricht, da e(p) Häufungspunkt der e(p n ) ist, dem Zusammen-hang im kleinen von B. Damit ist Hilfssatz Hj bewiesen.

Sei nun E eine in 5 1 dichte Teilmenge von B 1 , p ein Punkt vonhöherer als erster Ordnung, oder, wie wir auch sagen, ein Punkt von 1 B.Wenn M eine Komponente von B — p ist, so enthält die abgeschlosseneHülle M = M-\-p von M, als Teilkurve des Baumes B, mindestenszwei Endpunkte, also mindestens einen Endpunkt <4= P> der auch End-punkt von B sein muß, — und folglich auch mindestens einen Punkt von E,da diese Menge in ß 1 dicht ist. Es enthält daher die abgeschlosseneHülle jeder Komponente von B — p auch einen Bogen, welcher p miteinem Punkt von E verbindet. Berücksichtigen wir, daß B — p minde-stens zwei Komponenten enthält, so haben wir bewiesen Hilfssatz H., :Ist B ein Baum, E eine im Endkern B l von B dichte Teilmenge von B 1 ,dann liegt jeder Punkt von 1 B auf mindestens einem Teilbogen von B,der zwei Punkte von E verbindet.

Da für E eine abzählbare Menge gewählt werden kann, folgt aus //,die Existenz abzählbar vieler Teilbögen von B , in deren Summe 1 B, alsoa fortiori B enthalten ist. Nach H x enthält jeder dieser Bögen höchstensabzählbar viele Verzweigungspunkte von B , also ist die Menge 'B abzählbar.

Die Menge der gewöhnlichen Punkte eines Baumes liegt im Baumdicht und hat die Mächtigkeit des Kontinuums. Denn je zwei Baum-punkte sind ja durch einen Bogen verbunden, der eine Menge der Mäch-tigkeit des Kontinuums von gewöhnlichen Punkten enthalten muß, da ernur abzählbar viele Verzweigungspunkte des Baumes enthält 11 ). — Daßschließlich der Endkern eines Baumes die Mächtigkeit des Kontinuumsbesitzen kann, geht aus dem Urysohnschen Beispiel einer Kurve hervor, diein den Punkten einer linearen perfekten, nirgends dichten Cantorschen

11 ) Reguläre Kurven, die nicht Bäume sind, enthalten bekanntlich bisweilenüberhaupt keine gewöhnlichen Punkte, vgl. das in Kurven S. 302 angeführte Beispielvon Sierpiñski, Comptes Rendus 160 (1915), S. 302.