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K. Menger.

Baum zerlegt, wurde oben unter 2. bewiesen; enthält andererseits eineKurve G einen topologischen Kreis, so liegen auf demselben höchstensabzählbar viele C zerlegende Punkte 8 ), also sicher ein C nicht zerlegenderPunkt, der offenbar von mindestens zweiter Ordnung ist. — Seien nunK x und K 2 zwei fremde Teilkontinua von B . Wir verbinden K 1 und K„durch einen Bogen und betrachten sodann einen K t und K„ verbindendenTeilbogen dieses Bogens, welcher, abgesehen von seinen Endpunkten, zuK 1 -j- K 2 fremd ist. Tilgen wir irgendeinen Punkt p dieses Bogens, sozerfällt B , und zwar so, daß K 1 und K„ nicht zu derselben Komponentegehören. K x und K tJ sind also durch den Punkt p getrennt. Enthältandererseits eine Kurve einen topologischen Kreis, so enthält sie offenbarauch zwei zueinander fremde Teilkontinua (nämlich irgend zwei zueinanderfremde Teilbögen des topologischen Kreises), die nicht durch einen Punktgetrennt werden können. — Der Beweis von d) liegt auf der Hand. —Zum Beweise von e) verwenden wir den Satz von Mazurkiewicz 8 ), daßjedes stetig durchlaufbare Kontinuum mindestens zwei Punkte enthält,durch die das Kontinuum nicht zerlegt wird. Auch jedes Teilkontinuumeines Baumes muß also mindestens zwei solche Punkte enthalten, besitztfolglich, da ein Baum durch jeden Punkt von höherer als erster Ordnungzerlegt wird, (in bezug auf sich selbst) zwei Endpunkte. Enthält anderer-seits ein Kontinuum einen topologischen Kreis, so ist das eine Teilkurveohne Endpunkt. Damit ist unser Satz bewiesen.

4. Über die Struktur der Bäume. Jeder Baum B setzt sich zusammenaus einer abzählbaren Menge von Ver zweigungspunkten ~B, aus derMenge B~ aller gewöhnlichen Punkte, die von der Mächtigkeit des Konti-nuums und in B dicht ist, und aus einer diskontinuierlichen Menge B vonEndpunkten, die abzählbar oder von der Mächtigkeit des Kontinuums ist.

Wir stützen den Beweis auf zwei Hilfssätze. H 1 ': Jeder Teilbogeneines Baumes B enthält höchstens abzählbar viele Verzweigungspunktevon B. Sei nämlich C ein Teilbogen von B, p ein Punkt von C-"B.Die Menge B — p enthält mindestens drei Komponenten, von denenmindestens eine zu G fremd ist. Die abgeschlossene Hülle dieser Kom-ponente enthält, als Teilkurve eines Baumes, mindestens zwei Endpunkte,also mindestens einen Endpunkt 4= V ■ Einen dieser Endpunkte ordnenwir unter dem Namen e(p) dem Punkt p zu 10 ). Für p 4= q ist dann

8 ) Vgl. Mazurkiewicz, a. a. O. S. 119.

°) a. a. 0.

10 ) Von hier ab verläuft der Beweis des Hilfssatzes B 1 analog dem Mazurkiewicz-schen Beweis des Satzes, daß auf jedem topologischen Teilkreis eines stetig durch-laufbaren Kontinuums höchstens abzählbar viele Punkte liegen, die das Kontinuumzerlegen. (A. a. 0. S. 120.)