Reguläre Baumkurven.

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Teil eines Baumes stetig durchlaufbar. U enthält also je einen einfachenBogen zwischen p und jedem der Punkte q i . Wir haben nur noch nach-zuweisen, daß diese Bögen zu je zweien bloß den Punkt p gemein haben.Hätten nun aber etwa die Bögen, welche p mit q 1 und q. 2 verbinden,einen Punkt q =^=,p gemein, so betrachten wir das Komplement der n — 1Punkte q, q a , g 4 , ..q n . Die p enthaltende Komponente desselben wäremit Rücksicht auf die Baumnatur von B eine Umgebung von p < U,was unserer Voraussetzung widersprechen würde. Ganz analog läßt sichdie Behauptung für die Punkte der Ordnung w beweisen 8 ). — Tilgen wirnun einen Punkt n- ter Ordnung von B, so zerfällt der Rest offenbar inmindestens n Komponenten ; denn B — p enthält ja, wie eben nachge-wiesen, n Bögen ohne ihren einen gemeinsamen Endpunkt, und gehörtenzwei von diesen Bögen zu derselben Komponente, so ließe sich sofort einegeschlossene Teilkurve von B angeben. Andererseits enthält B — p auchnur n Komponenten. Denn B — p ist eine in B offene Menge; die Kom-ponenten von B — p sind daher ') offene zusammenhängende Mengen ;die abgeschlossenen Hüllen dieser Komponenten sind Kontinua; jedesdieser Kontinua enthält einen in p endenden Bogen, und da es nichtmehr als n solcher Bögen geben kann, so kann B — p nicht mehr alsn Komponenten enthalten.

3. Einige Charakterisierungen (1er Bäume. Damit eine reguläreKurve B ein Baum sei, ist jede einzelne der folgenden Eigenschaftennotwendig und hinreichend:

a) Je zwei nicht fremde Teilkontinua von B haben einen zusammen-hängenden Durchschnitt ;

b) je zwei fremde Teilkontinua von B können durch einen Punktgetrennt werden;

c) jeder Punkt von höherer als erster Ordnung zerlegt B;

d) zu je zwei Punkten von B existiert ein einziger Teilbogen von Bmit den beiden Punkten als Endpunkten;

e) jedes Teilkontinuum von B enthält mindestens zivei Endpunkte.

Daß je zwei nicht fremde Teilkontinua eines Baumes einen zusammen-hängenden Durchschnitt haben, wurde bereits erwähnt, und daß dies füreine Kurve, welche einen topologischen Kreis als Teil enthält, nicht zu-trifft, ist klar. — Daß jeder Punkt von höherer als erster Ordnung einen

ß ) Das entsprechende Problem, ob in jedem Punkt m-ter Ordnung einer be-liebigen regulären Kurve n Teilbögen zusammenstoßen (vgl. Kurven S. 302), ist fürn = 2 von Kuratowski in positivem Sinn entschieden worden, im allgemeinen abernoch unerledigt.

7 ) Vgl. Kuratowski, Fund. Math. 1, S. 43; Hahn, Fund. Math. 2, S. 189.