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K. Menger.

kontinuierliche Durchschnitte haben. Da aber diese Durchschnitte nachdem oben Bewiesenen leer oder zusammenhängend sind, so enthalten siehöchstens je einen Punkt. Als Summe beliebig kleiner Teilkontinua mitendlichen Durchschnitten, ist also B nach einem kurventheoretischenSatz ,r,a ) eine reguläre Kurve, wie behauptet. — Da ferner in der all-gemeinen Kurventheorie gezeigt wird, daß jede reguläre Kurve stetigdurchlaufbar ist 5b ), so sehen wir, daß es auf dasselbe hinauskommt, ob wirdie regulären Bäume definieren als die stetig durchlaufbaren Kontinuaohne geschlossene Teilkurve oder als die regulären Kurven ohne geschlos-sene Teilkurve.

2. Die Bedeutung der Ordnungszahl für Punkte eines Baumes gehtaus folgendem Satz hervor : Ist der Punkt p des Baumes B von der Ord-nung n, so ist n die Anzahl der Teilbögen von B, die in p zusammen-stoßen, d. h. es lassen sich n und nicht mehr als n in p endende undsonst fremde Teilbögen aus B herausgreifen. Zugleich ist n die Anzahlder Stücke, in die B nach Tilgung von p zerfällt, oder, wie wir dies auchausdrücken können, die Komponentenzahl von B — p. In den Punkten vander Ordnung w stoßen abzählbar viele Bögen mit gegen Null konvergierendenDurchmessern zusammen ; nach Tilgung eines Punktes der Ordnung wzerfällt der Baum in abzählbar viele Komponenten mit gegen Null kon-vergierenden Durchmessern 5c ).

Sei zum Beweise p ein Punkt n - ter Ordnung eines Baumes B . Mehrals n Teilbögen, die in p enden und sonst fremd sind, kann B offenbarnicht enthalten. Wir haben zu zeigen, daß sich aus B wirklich n in pzusammenstoßende Bögen herausgreifen lassen. Dazu betrachten wir eineUmgebung U von p , deren Begrenzung genau n Punkte q t , q t , ..., q nenthält und die so klein ist, daß die Begrenzung jeder Teilumgebung von pmindestens n Punkte enthält. Wegen der letzteren Voraussetzung ist dieabgeschlossene Hülle U von U offenbar ein Kontinuum und daher als

f ' ft ) Vgl. Kurven S. 300.

f,b ) Vgl. Kurven S. 300.

6c ) (Zusatz bei der Korrektur.) Über die erste Hälfte dieses Satzes, welchevon dem Zusammenstoßen von Bögen in Baumpunkten handelt, vgl. bereits KurvenS. 302 f. Die Aussage betrifft das Verhalten von Bäumen in der Nachbarschaft ihrerPunkte und gilt daher selbstverständlich von jedem Baum im kleinen, d. h. von jederMenge, die zu jedem ihrer Punkte eine Umgebung enthält, deren abgeschlosseneHülle ein Baum ist. In der Form einer Aussage über Bäume im kleinen findet sichdieser Satz, sowie der Satz von § 4 der vorliegenden Arbeit, wie ich während derDrucklegung ersehe, auch bei P. Alexandroff (Über kombinatorische Eigenschaftenallgemeiner Kurven, V. Abschnitt, in diesen Annalen), wo reguläre Kurven, die Bäumeim kleinen sind, als „endlich hoch zusammenhängende stetige Kurven" bezeichnetwerden.