K. Menger. Reguläre Baumkurven.

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mit diskontinuierlichen Begrenzungen existieren. Der Punkt p eines Kon-tinuums wird regulär genannt, wenn beliebig kleine Umgebungen von pmit endlichen Begrenzungen existieren, p heißt insbesondere von höch-stens n-ter Ordnung, wenn beliebig kleine Umgebungen von p existieren,deren Begrenzungen höchstens n Punkte enthalten, während reguläre Punkte,die von keiner bestimmten endlichen Ordnung sind, von der Ordnung woder von ivachsender Ordnung heißen. Ein kompaktes Kontinuum, wel-ches nur reguläre Punkte enthält, heißt reguläre Kurve. Die Punkte zweiterOrdnung einer regulären Kurve nennen wir geivöhnliche Punkte, die Punkteerster Ordnung Endpunkte , die Punkte von höherer als zweiter OrdnungVerzweigungspunkte.

Zunächst sieht man, daß jede reguläre Baumkurve, d. h. jedes kom-pakte stetig durchlaufbare Kontinuum ohne geschlossene Teilkurve, auchwirklich eine reguläre Kurve im eben angeführten Sinn der Kurventheorieist. Man bestätigt nämlich leicht 4 ), daß jedes Teilkontinuum eines Baumesstetig durchlauf bar ist, woraus sich ( da bekanntlich in einem stetig durch-laufbaren Kontinuum je zwei Punkte durch einen Bogen verbunden werdenkönnen) ergibt, daß je zwei Teilkontinua eines Baumes einen leeren odereinen zusammenhängenden Durchschnitt haben 4a ). Daraus folgt vor allem,daß jeder reguläre Baum B eine Kurve ist. Sonst gäbe es ja einen Punktp von B und eine Umgebung V von p, so daß die Begrenzung jederkleineren Umgebung von p Kontinua enthält. Sei dann V eine zusammen-hängende Umgebung von p innerhalb von U (eine solche existiert, weil Bstetig durchlauf bar ist) und seien a und b zwei Punkte eines Teilkonti-nuums (a, b ) der Begrenzung von V. Wir könnten dann innerhalb von Vzwei Punkte a' und b' so nahe an a bzw. b wählen, daß zwei zueinanderfremde Teilkontinua von V, (a, a') und (b, b') existieren. Verbinden wirsodann die Punkte a und b' durch ein Kontinuum (a', b'), das ganz im Innernvon V liegt, — dann hätten die beiden Kontinua (a, a') +(a, ô) + (b, b')und (a', b") einen nichtzusammenhängenden Durchschnitt, was unmög-lich ist, weil B ein Baum ist. B ist also eine Kurve und zwar einestetig durchlaufbare; B zerfällt daher nach einem Satz der Kurventheorie 0 )für jedes e > 0 in endlich viele Teilkontinua < e, die zu je zweien dis-

4 ) Vgl. Mazurkiewicz, a. a. 0. S. 123.

,la ) Angenommen nämlich, zwei Teilkontinua 1( 1 und E„ hätten einen nicht zu-sammenhängenden Durchschnitt, dann könnte man zwei Punkte p und q in verschie-denen Komponenten von K t -K 2 wählen und durch zwei Teilbögen verbinden, vondenen der eine in K t , der andere in K„ liegt. Der Durchschnitt dieser zwei Bögenwäre nicht zusammenhängend, also enthielte ihre Summe einen topologischen Kreis,was unmöglich ist.

6 ) Vgl. Kurven S. 296 ff.