Über reguläre Baumknrven.
Von
Karl Menger in Amsterdam.
1. Die kurventlieoretischen Grundlagen. Wir bezeichnen als reguläreBaumkurve oder kurz als Baum (in Verallgemeinerung einer Ausdrucks-weise der kombinatorischen Topologie) ein kompaktes stetig durchlaufbaresKontinuum („ligne de Jordan"), welches keine einfache geschlossene Kurve(d.h. kein topologisches Bild einer Kreislinie) als Teil enthält 1 ). DieUntersuchung der Bäume ist aus zwei Gründen von einem gewissen Inter-esse: erstens nehmen die Bäume unter den Kurven eine Stellung einanalog jener der Kurven unter den allgemeinen Kontinua 2 ) und besitzendaher einige an sich bemerkenswerte Eigenschaften; zweitens können hin-sichtlich der Bäume einige allgemeine kurventheoretische Fragen beant-wortet werden, deren Lösung für andere Kurven eigenartige, bisher un-überwundene Schwierigkeiten entgegenstehen.
Als Kurve wird in der allgemeinen Kurventheorie 3 ) ein Kontinuumbezeichnet, zu dessen sämtlichen Punkten beliebig kleine Umgebungen
') Auf diese Klasse von Kontinua wurde wohl zuerst von Mazurkiewiez, Fund.Math. 2 (1921), S. 119 hingewiesen. — W. Soherrer, Math. Zeitschrift 24 (1925), S. 125,behandelt sie unter dem Namen „ungeBchlossene stetige Kurve" und beweist ins-besondere, daß jede topologische Abbildung eines Baumes auf sich selbst oder aufein Teilkontinuum mindestens einen Fixpunkt hat. — Einige Sätze über Bäume, diesich mit denen des § 5 der vorliegenden Arbeit teilweise berühren, fand ich nachAbschluß dieser Arbeit bei R. L. Wilder, Fund. Math. 7 (1925), S. 358 ff.
3 ) Vgl. meinen Bericht über die Dimensionstheorie, (Kap. IV) Jahresber. d.deutsch. Math. Ver. 1926.
3 ) Vgl. meine Grundzüge einer Theorie der Kurven, Proc. Ac. Amsterdam 28(1925), S. 67 und Math. Annalen 95 (1925), S. 277 (im folgenden zitiert als „Kurven")und Urysohn, Mémoire sur les multiplicités Cantoriennes, II. Teil, weloher demnächstin den Verh. d. Ak. Amsterdam erscheint im Anschluß an eine Note in den C. R. 175(1922), S. 481. — Der Kurvenbegriff, die Begriffe des End- und Verzweigungspunktes,sowie einige kurventheoretische Sätze finden sich auch in einer in den Proc. Ac.Amsterdam 29 (1926) abgedruckten Note von mir aus dem Jahre 1921.