Abbildungen kompakter Räume.

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letztere Menge enthaltende, zusammenhängende Menge wäre, was der Eigen-schaft von X 0 , eine Komponente zu sein, widerspricht).

Die Zerlegung (29) ist also stetig, folglich ist der durch die Zerlegungbestimmte Raum R ' ein stetiges Bild von R,

R* = f(R).

Da R* ein kompakter Raum ist, so bleibt uns nur noch übrig zuzeigen, daß R* kein Kontinuum enthält, d. h. daß jede, mehr als einenPunkt enthaltende, abgeschlossene Teilmenge F* von R* sich in zwei zu-einander fremde abgeschlossene Mengen F* und F* zerlegen läßt.

Es sei F die Menge f~ 1 (F*) (vgl. § 2). F ist eine abgeschlossene,mehr als aus einer Komponente bestehende Teilmenge von R und zer-fällt daher in zwei zueinander fremde abgeschlossene Mengen F 1 und F.,.

Dann sind aber in unserem Falle F* = f(F 1 ) und F.* = f(F z ) eben-falls zueinander fremd und abgeschlossen, und da außerdem

F * = F* + F*

ist, so ist unser Satz bewiesen.

Es sei hierzu noch bemerkt, daß aus dem soeben bewiesenen Satzedie bekannten Brouwerschen Sätze über die Struktur der abgeschlossenenMengen 20 ) ohne weiteres folgen. Derselbe Satz steht auch zu einem Satzevon Hausdorff 21 ) in enger Beziehung.

Blaricum bei Amsterdam, November 1925.

20 ) Nämlich die Sätze 1, 2, 3, 4 der ersten und der Satz 8 der zweiten Mittei-lung „Over de struktuur der perfekte puntverzamelingen (Koninklijke Akademie vanWetenschappen te Amsterdam 1910, S. 833—842 und 1911, S. 1416—1426, beides hol-ländische Ausgabe).

21 ) op. cit. S. 304, Satz XI.

(Eingegangen am 11. 12. 1925.)

Zusatz bei der Korrektur: Wie ich soeben ersehe, behandeltHerr R. L. Moore in seiner Arbeit: ,, Concerning upper semicontinuouscollections of continua (Amer. Trans. 27 (1925), S. 416—428) einen Be-griff, der sich mit dem obigen Begriff der stetigen Zerlegungen für denFall metrischer Räume mit Kontinuen als Zerlegungseinheiten im wesent-lichen deckt. Da sich aber Herr Moore a. a. 0. auf ebene Kontinua be-schränkt, so kommen seine Resultate mit den meinigen nicht weiter inBerührung.