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P. Alexandroff.

Diskontinuums zurückgeführt, was insbesondere für Grundlagenproblemevon einer prinzipiellen Bedeutung sein dürfte.

22. Die in dieser Arbeit gewonnenen Gesichtspunkte erlauben das all-gemeine Problem über die topologischen Eigenschaften stetiger Zerlegungenkompakter metrischer Räume zu stellen, oder, was dasselbe ist, das Pro-blem über topologische Eigenschaften derjenigen (in einem kompaktenmetrischen Räume gelegenen) Systeme von abgeschlossenen Mengen, derenVereinigungsmengen wieder abgeschlossen sind. Wie man sofort sieht,lassen sich manche klassische, sowie moderne topologische Fragen in dieseallgemeine Problemstellung einordnen.

Um sich auf das einfachste Beispiel zu beschränken, nennen wir einestetige Zerlegung

(29) R=T;X

eines kompakten metrischen Raumes n- dimensional, falls der durch dieseZerlegung induzierte Raum R" re-dimensional ist 18 ).

Folgende Frage scheint mir von grundlegender Bedeutung zu sein:

Was läßt sich über die Dimension eines kompakten metrischenRaumes R aussagen, für den eine n- dimensionale Zerlegung in lauterm-dimensionale abgeschlossene Mengen X vorliegt" 1 . (Die plausible Antwortwäre, daß dim R ^ m + n ist.)

23. Schon die Lösung dieses Problems für den Fall n = 0 19 ) dürfte einselbständiges Interesse darbieten, wie man z. B. aus folgendem Satze erkennt:

VIII. Die Zerlegung eines kompakten metrischen Raumes in seinesämtlichen Komponenten ist eine stetige nulldimensionale Zerlegung.

Es sei in der Tat R ein kompakter metrischer Raum, und es seiendie X sämtliche Komponenten des Raumes R . Zuerst beweisen wir, daßdie Zerlegung (29) stetig ist, und wenden zu diesem Zweck die zweiteForm (§18) der Stetigkeitsdefinition an.

Es sei

eine konvergente Folge von Komponenten des Raumes R und 0 der topo-logische Limes dieser Folge. Falls die Menge die abgeschlossen und zu-sammenhängend ist, mit der Komponente X 0 gemeinsame Punkte hat, soist notwendigerweise @czX 0 (weil sonst X 0 + eine von X 0 verschiedene,

18 ) So ist z. B. die Zerlegung der Kugelfläche in Parallelkreise -f Nordpol + Süd-pol, oder die Zerlegung der Torusfläehe in Parallelkreise eine stetige 1-dimensionaleZerlegung.

10 ) die soeben von Herrn Tamarkin in Moskau erbracht ist (Proceed. Ak. Amster-dam 28 (Nr. 10), S. 1000 u. f.), wodurch meine Vermutung sich für den Fall n = 0als richtig erwiesen hat.