Abbildungen kompakter Räume.

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Es sei jetzt . .

G n = S[X 0 ,-^j (» = 2, 3,..., in inf.),

wobei e — Q(X 0 , R — G t ) gesetzt ist.

Die Folge aller X M enthält eine konvergente Teilfolge

(26) X M , X M ,...,X in "\ ...,

deren topologischer Limes <Z>, zufolge der Relation

X [nk) -G nh = X nk -S(x 0 , —— r) =» x n , + 0

\ n k — i/sicher mit X 0 gemeinsame Punkte hat.

Andrerseits ist aber

X {nk) • (R — G t ) =j= 0 (für jedes k),

also auch

(P.(Ä-G a ) + 0,

so-daß unmöglich in X 0 enthalten sein kann, und folglich, im Wider-spruche mit der Bedingung des § 18, wenigstens mit zwei verschiedenenMengen X der Zerlegung (26) gemeinsame Punkte hat.

Die Äquivalenz der beiden Stetigkeitsdefinitionen ist hiermit für jedeZerlegung eines kompakten metrischen Raumes bewiesen.

Wir werden in einem Augenblicke von der zweiten Form des Stetig-keitsbegriffes Gebrauch machen.

21. Das Hauptresultat dieser Arbeit läßt sich folgendermaßen for-mulieren:

Jeder kompakte metrisierbare topologische Raum ivird durch einestetige Zerlegung der Cantor sehen perfekten Menge induziert-, auch umge-kehrt induziert jede stetige Zerlegung der Cantorschen perfekten Menge(iallgemeiner : eines beliebigen kompakten metrischen Raumes) stets einenkompakten metrisierbaren Raum.

Mit anderen Worten: „einen kompakten metrisierbaren Raum an-geben" heißt dasselbe wie „eine stetige Zerlegung der Cantorschen Mengebestimmen". Dadurch wird aber der wesentlichste Teil der mengen-theoretischen Topologie 17 ) wieder auf den alten Boden des elementaren

3 ') der ja eben in der Untersuchung der kompakten und in kleinen kompaktenRäumen bestellt. Vgl. hierzu Paul Urysohn, Mémoire sur les multiplicités cantorien-nes, I, Introduction, n° 6—9 (Fund. Math. 7, S. 38—42, insbes. Fußnote °) auf derSeite 41).

Es sei noch bemerkt, daß jeder im kleinen kompakte metrisierbare Raum Raus einem einzigen, durch R vollständig bestimmten, bikompakten Räume R durchWeglassung eines einzigen Punktes topologisch entsteht. Ê ist dabei dann und nurdann metrisierbar, falls in R eine abzählbare Menge dicht ist (was ja bei dieserganzen Fragestellung auch immer vorausgesetzt werden darf). (Siehe über alle dieseFragen meine Arbeit „ Über Metrisation der im kleinen kompakten top. Räume", Math.Ann. 92, S. 294-301).

Mathematische Annalen. 9G. 37