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P. Alexandroff.

griff der stetigen Zerlegung in eine andere Form bringen, die oft be-quemer ist.

Wir erinnern uns zuerst an den Hausdorffschen Begriff der topologi-schen Konvergenz einer Mengenfolge: eine Mengenfolge heißt konvergent,wenn ihr oberer und unterer abgeschlossener Limes 10 bis ) zusammenfallen(und dann den topologischen Limes der Mengenfolge bilden).

Wir können jetzt den Begriff der Stetigkeit der Zerlegung

(26) R= J]X

eines kompakten metrischen Raumes in zueinander fremde abgeschlosseneMengen X folgendermaßen formulieren:

Es sei

(27) Ipl,

irgendeine konvergente Folge der Mengen X (der Zerlegung (26)), und <Pder topologische Limes von (27). Dann soll C J> nur mit einer Menge X (derZerlegung (26)) gemeinsame Punkte haben (und also in ihr enthalten sein).

19. Um die Äquivalenz der beiden Stetigkeitsbegriffe zu beweisen,setzen wir 'zuerst voraus, daß (26) eine im Sinne des § 4 stetige Zer-legung ist, und es habe mit der Menge X 0 gemeinsame Punkte. Wirwollen zeigen, daß <Z> zu jeder, von X 0 verschiedenen Menge X der Zer-legung (26) fremd ist. Es sei in der Tat X% eine solche Menge. Da X 0und X * zueinander fremd sind, so gibt es ein X 0 enthaltendes, zu X¡.fremdes Gebiet G 1 .

Wir dürfen voraussetzen (Normalität!), daß auch (r 1 zu fremd ist.Es habe nun G 0 die im § 4 erwähnte Bedeutung. Fast alle X n haben mitG 0 gemeinsame Punkte, sind also in G 1 und a fortiori in G 1 enthalten;daraus folgt aber, daß auch ( I> in G 1 enthalten, d. h. zu X* fremd ist.

20. Jetzt setzen wir umgekehrt voraus, daß die Zerlegung (26) imSinne von § 18 stetig ist, und es sei die Stetigkeitsbedingung des § 4nicht erfüllt.

Dann gibt es eine bestimmte Menge X 0 der Zerlegung (26) und eindiese Menge enthaltendes Gebiet G 1 derart, daß jedes in G t enthaltene,die Menge X 0 enthaltende Gebiet G n (n > 1) mit einer aus G 1 heraus-ragenden Menge X in) wenigstens einen Punkt x n gemeinsam hat.

íebis) Hausdorff, S. 236. Ein Punkt x gehört zum oberen abgeschlossenen Limesder Mengenfolge

-MjL, il/o t • ' • J , . . i

falls jede U(x ) Punkte unendlich vieler Mengen M„ enthält; x gehört zum unteren *abgeschlossenen Limes, wenn jede U (x) Punkte fast aller M„ enthält.