Abbildungen kompakter Räume.
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die Ungleichung
£ (/"(£), f(O) < B folgt 15 )
17. Bekanntlich ist jede beschränkte abgeschlossene nirgendsdichteMenge reeller Zahlen ein stetiges Bild einer 1B ), und folglich jeder be-schränkten nirgendsdichten perfekten linearen Menge (also z. B. der Cantor-schen „Dreiteilungsmenge"), man kann also die Sätze VI und VII folgen-dermaßen zusammenfassen :
Die Klasse der kompakten metrischen Räume ist topologisch mit derKlasse derjenigen topologisehen Räume identisch, die eindeutige und stetigeBilder der Cantorschen perfekten Menge sind.
18. Für den Fall kompakter metrischer Räume li!a ) läßt sich der Be-
15 ) An den Satz VII knüpft sich noch folgende Bemerkung an. Indem mandurch r™ die Menge aller Irrationalzahlen f bezeichnet, deren m 'er Teilnenner (inder Kettenbruchentwicklung (17)) gleich s ist, sieht man leicht ein, daß die, durchden Beweis des Satzes VII gelieferte, Abbildung (22) der Bedingung
(25) lim á(/ , (^-rf)) = 0
m~> oo
genügt (d. h. für jedes e >0 gibt es ein genügend großes m, : , so daß für beliebiges sund m>m s
ist). Eine der soeben ausgesprochenen Bedingung genügende Abbildung wollen wirabsolut stetig nennen. Wir führen noch folgende Bezeichnung ein. Falls E irgend-welche, aus Irrationalzahlen bestehende, Menge ist, so soll N m ( E) die Menge allerderjenigen natürlichen Zahlen bedeuten, die als m te Teilnenner der Kettenbruchent-wicklung sämtlicher Elemente der Menge E vorkommen.
Dann bildet folgender Satz eine leichte Umformung eines Urysohnschen "Über-deckungssatzes. (Siehe in diesem Bande den § 12 meiner Arbeit „Simpliziale Approxi-mationen usw."):
Jeder höchstens n-dimensionale kompakte metrische Raum R läßt sich als abso-lut stetiges Bild einer aus Irrationalzahlen bestehenden beschränkten abgeschlossenenMenge derart darstellen, daß, falls man durch X irgendeine, sich in einen Punkt xvon B abbildende Teilmenge von <I> bezeichnet, die Menge N m (X) für jedes m höchstensaus n + 1 verschiedenen natürlichen Zahlen besteht.
Falls umgekehrt ein kompakter metrischer Raum R vorliegt, der sich unter Gel-tung der soeben ausgesprochenen Bedingung als absolut stetiges Bild einer, aus Irra-tionalzahlen bestehenden, beschränkten abgeschlossenen Menge darstellen läßt, so ist erhöchstens n- dimensional.
Den Beweis dieses Satzes überlassen wir dem Leser.
10 ) am einfachsten folgendermaßen entstehenden perfekten Menge: Man umgibtjeden isolierten Punkt x n der gegebenen abgeschlossenen Menge F mit einem kleinen,keinen andern Punkt der Menge F enthaltenden Intervalle A n und setzt dahin eine,x n enthaltende, perfekte Menge P n . Man definiert alsdann P F = F + 2 P n und setzta; = f(f) = f, falls fc- P F gleichzeitig ein nicht isolierter Punkt von F ist, sonstaber: x = f {£) = x n (falls f c P n ist). Dann ist F— f (P F ) ein stetiges Bild vonPp.
16 ■) und nur für diesen Fall: vgl. § 9.