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P. Alexandroff.

Die Menge (16) ist also nicht leer, also ist (14) ausgezeichnet undder durch (17) definierte Punkt £ gehört zu <Z>. Aus (21) folgt alsdann, daß

* = /"(£)

ist.

Wir erhalten also die eindeutige Abbildung

(22) R = /"(</>),

und es bleibt uns nur übrig zu beweisen, daß diese Abbildung eine stetigeist. Es sei zu diesem Zwecke e eine beliebige positive Zahl und x einbeliebiger Punkt von R. Es sei weiter f ein der Gleichung (20) ge-nügender Punkt von <P.

Wir bezeichnen durch (17) die Kettenbruchentwicklung von £ undwollen jetzt ein derartiges ö > 0 angeben, daß

(23) q(X, Z)< Eist, sobald

(24) z = f(C) und |f — Ç\<ô.

Es sei ra > und die Menge aller Irrationalzahlen, deren Ketten-

bruchentwicklung mit

-f — !

I iim

anfängt, f gehört zu und es gibt bekanntlich ein <5 > 0 von der

Art, daß jede Irrationalzahl f, die sich von £ weniger als um ô unter-scheidet, zu gehört. Wir wählen dieses (5 und betrachten einenbeliebigen, den Relationen (24) genügenden Punkt zaR.

Dann ist zufolge der Definition der Abbildung R = z in der

Menge F i¡ ia ... im , also a fortiori in V™ n enthalten, und folglich (da auchxczVZ ist) ist

e(x, z)£ô(V£) = ô(V£)<±<e,

w. z. b. w.

Wir bemerken noch, daß aus der Stetigkeit der Abbildung R =in unserem Falle (zufolge den bekannten Hausdorffschen Sätzen 14a )) diegleichmäßige Stetigkeit folgt. Man kann also für jedes s > 0 ein ô > 0finden, so daß aus

|£ — í|<<5,

14 *) Hausdorff, Kap. IX.