Abbildungen kompakter Räume.

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identisch ist, so daß wir eine unendliche Menge M m + 1 <= M m von Irrational-zahlen | s haben, deren Kettenbruchentwicklung (18) mit

• + 5*7*-

h)i + 1

beginnt. In dieser Weise fortfahrend, definieren wir für jedes m ein i munter der Bedingung, daß (14) ausgezeichnet ist und daß unendlich vieleÍ s mit

¿1 H —— ,

h + ' • I 1im

beginnen. Dann ist aber die Irrationalzahl |, die durch ( 17 ) definiert ist,erstens ein Element der Menge 0, zweitens ein Häufungspunkt der Menge M,womit die Behauptung I o bewiesen ist.

16. Es bleibt uns übrig, 2° zu beweisen.

Es sei f ein beliebiges, durch (17) gegebenes Element von ( P. Dannist (14) ausgezeichnet und also (16) nicht leer. Da

-^¿1 il ... im iz • ■ • im+l

ist, so ist nach dem Cantorschen Durchschnittssatze die Menge

(19) EFi^...i,n

m= 1

nicht leer. Sie kann aber nicht mehr als einen Punkt enthalten, weil fürjedes m

ö £ à (ÍU...Ü ^ à{VZ) < i

ist. Wir bezeichnen also den Punkt (19) des Raumes R durch x und setzen

(20) * = /•(!)

(wo Í durch (17) gegeben ist).

In dieser W ß i se entspricht jedem Punkte f c: $> ein einziger Punkt x c= Ii.Umgekehrt aber entspricht zufolge (20) jedem Punkte xczR wenigstensein Punkt |<=<P. In der Tat ist für jedes m der (willkürlich gegebene)Punkt xcR wenigstens in einer Menge enthalten. Indem man fürjedes m eine beliebige dieser Mengen wählt, erhält man eine Folge natür-licher Zahlen i m , für die die Relationen:

(21) x^ÈV^ÏÏVZ = f[Fi l i>-:à

m= 1 un— 1 m= 1

gelten.