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P. Alexandroff.

N ub bezeichnen wir durch die Menge aller Irrationalzahlendéren Kettenbruchentwicklung

ein ausgezeichnetes System ist.

Ich behaupte:

I o . <I> ist eine beschränkte abgeschlossene Menge reeller Zahlen (daaußerdem <J> nur aus Irrationalzahlen besteht, so wird aus I o folgen, daß<I> nirgends dicht ist).

2°. R ist ein stetiges Bild von 0.

15. Da 0 eine Menge reeller Zahlen ist, so wird die Beschränktheitund Abgeschlossenheit von 0 gleichzeitig bewiesen, sobald wir zeigen, daß0 in sich kompakt ist. Es genügt also zu konstatieren, daß jede abzähl-bare Teilmenge M von 0 wenigstens einen zu 0 gehörenden Häufungs-punkt hat.

Es sei M eine solche Menge und

ihre sämtlichen Elemente.

Da die Anzahl der verschiedenen Werte, die il annehmen kann, diefeste Schranke l x zufolge (15) nicht überschreiten kann, so gibt es einesolche natürliche Zahl i x , daß für unendlich viele s — i x ist, d.h. daßdie Kettenbruchentwicklung (18) für unendlich viele Zahlen Í 1 mit i xbeginnt. Da jede dieser £ s zu 0 gehört, so ist [¿J ein (aus einemElemente) bestehendes ausgezeichnetes System.

Es seien jetzt die natürlichen Zahlen bereits in der

Weise ausgewählt, daß es unter den Zahlen g s unendlich viele gibt, derenKettenbruchentwicklung (18) die i x , i„, ..i m als die ersten m Teilnennerder Reihe nach besitzt; die Menge der soeben ausgewählten werden wirdurch M m bezeichnen. Da M m <= M <= 0 ist, so ist i 1 , i 2 , ..., i m ein aus-gezeichnetes System.

Da die Anzahl der verschiedenen Werte, die i s m+1 annehmen kann,endlich ist, so gibt es ein i m+1 , das mit im+i für unendlich viele | s c; M m

(17)

hn "I - ' .

die Eigenschaft hat, daß für jedes m

[î' j , « 2 , ..., ¿ m ]

(18)

(s — 1, 2, ... in infinitum)