Abbildungen kompakter Räume.

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die so beschaffen sind, daß es zu jedem Paare F <= G , wo F eine ab-geschlossene und G eine offene Teilmenge des Raumes R ist, wenigstensein der Inklusion

genügendes Gebiet (9) gibt 14 ).

Wir betrachten unter den Umgebungen V(x*), die im Beweise desSatzes II (§8) vorkommen, nur diejenigen, die, der Vorschrift des § 3gemäß, den Mengen (9) entsprechen. Es sollen diese V(x*) bzw.

heißen. Um zu beweisen, daß die V n dem ursprünglichen Umgebungs-system {U(x*)} des Raumes R' 1 ' (vgl. § 8) gleichwertig sind, brauchtman nur wörtlich die Überlegungen des entsprechenden (End-) Teiles des§ 8 zu wiederholen und dabei unter U(x) eine in (8) vorkommende Um-gebung U n des Punktes x zu verstehen. Da die V n nur in abzählbarerMenge vorhanden sind, so wird damit die Geltung des II. Abzählbarkeits-axioms im Räume R*, und folglich der ganze Satz VI bewiesen.14. Wir schreiten jetzt zum Beweise des folgenden Satzes:VII. Jeder kompakte metrisierbare topologische Raum ist stetiges Bildeiner beschränkten, nirgends dichten, abgeschlossenen Menge reeller Zahlen.

Beweis. Es sei R ein den Voraussetzungen unseres Satzes genügen-der Raum, in dem wir uns eine feste Metrik eingeführt denken.

Es existiert dann (zufolge des Borel-Lebesgueschen Überdeckungs-satzes) für jede natürliche Zahl m ein endliches System von Gebieten:

(10)

F <= G n <= G

(11)

FF F

1 ) '2' * ' *' r « >

(12)

% m ={ur,ur,...,iiz)

die so beschaffen sind, daß

I

(13) R = Ui l und für jedes i £ 1 à ( 17") < -

i= i m

ist.

(14)

Wir sagen nun, daß das endliche System natürlicher Zahlen

[¿i, ..., i n J

ausgezeichnet ist, falls für jedes k m

I ,

nicht leer ist.

") Die G„ sind einfach die Vereinigungsmengen ^je endlich vieler unter denMengen (8).