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P. Alexandroff.

Es sei in der Tat F eine beliebige in R gelegene und daselbst ab-geschlossene Menge. F ist, als Relativraum betrachtet, bikompakt, folglichist auch F* bikompakt, also 9 ) in jedem größeren topologischen Raum,insbesondere auch in R*', abgeschlossen, w. z. b. w.

V. Jeder durch eine stetige Zerlegung eines bikompakten topologischenRaumes R bestimmte Raum R" ist ein topologischer Raum und folglichein doppelstetiges Bild des Raumes R.

Dieser Satz folgt sofort aus der Normalität 10 ) aller bikompaktentopologischen Räume. Aus den Sätzen I bis V folgt das zusammenfassendeErgebnis :

Diejenigen topologischen Räume, die stetige Bilder eines gegebenenbikompakten topologischen Raumes R sind, entsprechen eineindeutig denstetigen Zerlegungen des Raumes R und werden durch diese Zerlegungen,also allein durch Kenntnis des Raumes R selbst, vollkommen bestimmt 1X ).

Da jeder kompakte metrische Raum bekanntlich bikompakt ist 10 ), sogelten letztere Resultate insbesondere für alle kompakten metrischenRäume R, deren Untersuchung wir uns jetzt zuwenden.

VI. Ein topologischer Raum, der stetiges Bild eines kompaktenmetrischen Raumes ist, ist auch selbst kompakt und metrisierbar 1 ' 2 ).

13. Es sei, um VI zu beweisen, R* = f(R), und R ein kompaktermetrischer Raum. Da wir R* als topologischen Raum voraussetzen, brauchenwir zufolge des bekannten Urysohnschen-Metrisationssatzes nur zu beweisen,daß in R * das zweite Abzählbarkeitsaxiom gilt.

Da R dem II. Abzählbarkeitsaxiom sicher genügt 13 ), so gibt es für Rein abzählbares Umgebungssystem

(8) ü lt U 9 ,...,U n ,...

und zufolge des Borel-Lebesgueschen Satzes ein abzählbares System vonoffenen Mengen

(9) öj, G a , .. G n , ....,

°) „Jeder bikompakte topologisclie Raum ist absolut abgeschlossen." (P. Alexandroffund P. Urysohn, Zur Theorie der topologischen-. Räume, Math. Ann. 92, S. 263.)

10 ) Siehe die unter 9 ) zitierte Arbeit. Ein topologischer Raum heißt normal, fallsin ihm jede zwei abgeschlossene, zueinander fremde Mengen F l und F„ durch eben-falls fremde Gebiete G 1 =>F 1 , Gr., zd F« voneinander trennbar sind.

11 ) Es sei nochmals betont, daß ich die Möglichkeit, letzteres Ergebnis in seinervollen Allgemeinheit auszusprechen, der unter 8 ) zitierten Bemerkung von HerrnWedenissoff verdanke.

la ) Dagegen zeigt das Beispiel des § 11, daß ein allgemeiner abstrakter, nichtmetrisierbarer Raum stetiges Bild eines kompakten metrischen Raumes sein kann.

1S ) Hausdorff, S. 274.