Abbildungen kompakter Räume.

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Satz III. Ein stetiges Bild eines bikompakten bzw. kompaktenabstrakten Raumes 6 ) ist wiederum ein bikompakter bzw. kompakter Raum.

Es sei R*—f{R ) und R bikompakt bzw. kompakt. Es sei weiter{(?*} ein beliebiges bzw. abzählbares System von den Raum R* über-deckenden offenen Mengen. Um den Satz III zu beweisen, brauchen wirnur zu zeigen, daß aus {G*} sich ein endliches, den Raum R* noch immerüberdeckendes Teilsystem wählen läßt. Letztere Behauptung folgt abereinfach daraus, daß die *G den Raum R überdecken und daselbst offensind, also lassen sich") endlich viele dieser Mengen, es seien

*G 1} *G 2 , ..., *G S

derart wählen, daß y,*G¡=R, und also J>¡ G* — R* ist, w. z. b. w.

i— 1 1=1

11. Folgendes Beispiel zeigt, daß stetige Abbildungen selbst der ein-fachsten bikompakten 73 ) Räume nicht doppelstetig zu sein brauchen.

Es bestehe in der Tat R aus der abgeschlossenen Einheitsstrecke derreellen Zahlengeraden und dem Punkte 2 derselben Geraden; die Um-gebungen seien dabei die üblichen (d. h. man betrachte R als in dergewöhnlichen Geraden enthaltenen Relativraum).

R* soll aus denselben Punkten wie R bestehen (wodurch eine ein-eindeutige Beziehung zwischen R * und R von vornherein festgestellt wird).Die Umgebungen aller Punkte bleiben auch dieselben, mit einziger Aus-nahme des Punktes 2; letzterer Punkt bekommt nämlich als Umgebungjede, aus dem ganzen Räume durch Weglassung endlich vieler, vom Punkt 2verschiedener, sonst aber beliebiger Punkte, entstehende Menge. Man über-zeugt sich leicht, daß der abstrakte (nicht topologische!) Raum R* einstetiges, wohl aber kein doppelstetiges Bild des Raumes R ist.

12. Dagegen bestehen folgende Sätze:

IV s ). Falls der topologische Raum R * stetiges Bild des bikompakten topo-logischen Raumes R ist, ist die betreffende stetige Abbildung auch doppelstetig.

") Die Definition der bikompakten topologischen Räume ist in der Arbeit

P. Alexandrofl und P. Urysohn, Zur Theorie der topologischen Räume, Math. Ann. 92,

gegeben. Diese Definition und der dazu gehörige Satz I (loc. cit. S. 259) läßt sich

unmittelbar auf den Fall allgemeiner abstrakter Räume übertragen.

') Da R bikompakt bzw. kompakt ist.

7a ) (abstrakten (also, im allgemeinen, nicht topologischen)).

8 ) Zuerst habe ich diesen Satz nur für die dem I. Abzählbarkeitsaxiome ge-

nügenden bikompakten topologischen Räume bewiesen, was für das folgende (§§ 13 bis 23)genügte. Herr N. Wedenissoff (stud. math, in Moskau) hat mich aber in liebenswürdi-ger Weise darauf aufmerksam gemacht, daß der Satz IV in voller Allgemeinheitunmittelbar aus dem Satz III und einem von Paul Urysohn und mir früher be-wiesenen 9 ) Satze folgt, wodurch der Satz IV viel allgemeiner und sein Beweis vieleinfacher geworden ist.