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P. Alexandroff.

genügen (wobei G das der Definition von V(x*) zugrunde liegende, dieMenge X enthaltende Gebiet ist).

Aus der Ungleichung (7) folgt, daß

R* — V{x*) = f{R — G).

Da R — G abgeschlossen und unsere Abbildung doppelstetig ist, so ist auchR* — V(x*) abgeschlossen und also V(x*) offen.

Es bleibt uns übrig zu zeigen, daß in jeder U(x*) eine V (x*) ent-halten ist. Letztere Bedingung ist aber auch ohne Voraussetzung derDoppelstetigkeit der Abbildung, also auf Grund der Stetigkeit allein, erfüllt,was man folgendermaßen einsieht.

Es sei U(x*) festgewählt. Dann gibt es zu jedem Punkte x<=Xeine der Inklusion (3) des § 2 genügende Umgebung U(x). Die Ver-einigungsmenge dieser für alle Punkte x<=X konstruierten U{x) ist eineoffene, die Menge X enthaltende Teilmenge G, und man hat die Inklusion

f(G)^U(x*).

Die der Menge G entsprechende V(x*) ist aber in f(G) enthalten,und daher ist a fortiori V(x*)<=U(x*), womit die Gleichwertigkeit derSysteme U(x*) und V(x*) bewiesen ist. Also ist der Raum. R* durchdie Zerlegung R = 5] X bestimmt ; da aber R * gleichzeitig ein stetigesBild von R ist, so ist letztere Zerlegung nach dem Satze I stetig, w. z. b. w.

9. Mehr als die Sätze I und II läßt sich im allgemeinen Falle nichtaussagen: in der Tat braucht eine stetige Abbildung eines (sogar separablenmetrischen) Raumes durchaus nicht doppelstetig zu sein, wie man ausfolgendem elementaren Beispiele erkennt.

Es sei X 0 die Strecke (¡c=0,0 < 1) der gewöhnlichen Ebene,und (für jedes ganzzahlige positive n) X n die abgeschlossene Strecke

1 . 05

x = —, Die Menge £ X n (als in der gewöhnlichen Ebene ge-

n n=0

legener Relativraum betrachtet) ist ein metrischer Raum R, und man hat einestetige Abbildung R* = f(R), wobeiR* aus den Punkten ¡»„(»=0,1,2,...)

x o =(0;0); ¡c n =f|l;o) (»=1,2,...)

besteht. Nun ist aber diese Abbildung nicht doppelstetig, weil die (in Rabgeschlossene) aus den Punkten y n = l) bestehende Menge in diein R* nicht abgeschlossene Menge aller Punkte x n , n^> 1, übergeht 5 ").

10. Wir beweisen jetzt den eigentlich selbstverständlichen

8 *) Vgl. Fußnote 10 a ).