Abbildungen kompakter Räume.

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wenn man setzt

[«*] = /■([«]) = [ß — 1], für «■= 2, 3, . (n < co)

[«*] = f([a] ) = [ß], für . co ß <ii

[ß] =/•([!])•

Indem man die (aus einem einzigen Punkte bestehende) Menge f~ l (x*),wo X* ein beliebiger Punkt des Raumes B* ist, durch X bezeichnet, siehtman sofort ein, daß der durch die Zerlegung B = £ X bestimmte Raummit R identisch, also von " verschieden ist.

Man sieht also, daß die Begriffe der stetigen Abbildung und derstetigen Zerlegung eines Raumes nicht in befriedigender Weise einanderentsprechen, und zwar tritt diese Inkoherenz bereits im Falle, wo beideRäume R und R " kompakt und außerdem topologisch sind, vor.

7. In unserem Beispiel kommt noch eine zweite Eigentümlichkeit vor:die abgeschlossene Menge F—B — [1] wird nämlich auf die nicht ab-geschlossene Menge M* = R* — [ß] abgebildet. Wenn man daran denkt,daß (wie man leicht beweist) die Stetigkeit einer Abbildung darin besteht,daß die Vrmenge * F jeder abgeschlossenen Menge F stets abgeschlossenist b ), liegt es nahe, diejenigen stetigen Abbildungen, bei denen auch um-gekehrt jeder abgeschlossenen Teilmenge F von R eine abgeschlossene Bild-menge F*czRentspricht , besonders zu berücksichtigen und sie etwa alsdoppelstetige Abbildungen zu bezeichnen.

8. Es besteht dann folgender

Satz II. Jede doppelstetige Abbildung

B*= f(B)

ziveier Räume läßt sich durch eine stetige Zerlegung des Raumes Rinduzieren.

Es seien U(x*) die in R * a priori gegebenen Umgebungen. Indemw ir durch X die (in R abgeschlossenen) Mengen f _1 (x*) (wobei x* einbeliebiger Punkt von B* ist) bezeichnen, betrachten wir die ZerlegungB — X und die durch diese Zerlegung vermöge des § 3 bestimmten„Umgebungen" V(x*). Es handelt sich darum, zu zeigen, daß dieGesamtheit aller V{x*) als ein den Raum B* definierendes Umgebungs-system betrachtet werden kann.

Dazu beweisen wir zuerst, daß jede V(x*) in B offen ist.

In der Tat ist, der Definition von F(x*) gemäß, B* — V(x*) durchalle diejenigen Punkte z* des Raumes B* gebildet, die der Relation

(7) f~ 1 (z*)-(B~G) + 0

5 ) Hausdorff, op. cit. S. 361, III.