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P. Alexandroff.

des Raumes R ist oder nicht. Daraus folgt aber durchaus nicht, daßdurch eine auch noch so vollständige Kenntnis des Raumes R eine Mög-lichkeit gegeben ist, alle Bäume, die sich stetig auf R abbilden lassen, inirgendwelchem Sinne zu konstruieren.

Wir wollen das auf diese Weise entstehende Problem für sehr all-gemeine Raumkategorien lösen; zuerst aber werden wir zeigen, warum dieLösung dieses Problems in seiner vollen Allgemeinheit ziemlich aussichts-los erscheint.

Wir haben gesehen, daß jeder durch eine stetige Zerlegung einesRaumes R bestimmte Raum R J " ein stetiges Bild von R ist. Nun aberbraucht gar nicht eine stetige Abbildung R* — f{R) eines sogar kompaktentopologisehen Raumes durch die Zerlegung des Raumes R in die MengenX=f~* i (x*) induziert zu sein 4 ).

Um dies einzusehen, betrachten wir folgendes Beispiel.

Es bestehe der Raum R aus allen Ordnungszahlen der I. und II. Zahl-klasse, d. h. aus allen Zahlen

(5) 1)2,.,co,...,ß, ... (o; <c Í2) ,

wobei Q die erste nicht abzählbare transfinite Ordnungszahl (d. h. die ersteZahl der III. Zahlklasse) ist. Die Zahl a, als Punkt eines Raumes be-trachtet, soll etwa durch [a] bezeichnet werden.

Der Raum Rbesteht definitionsgemäß aus allen Elementen (5) undaus dem Elemente Q.

Die Umgebungen in R bzw. in R * seien folgendermaßen definiert.Falls [«] ein beliebiger Punkt von R bzw. R*, also a < Q bzw. cc <L Qist, und Ä eine beliebige Ordnungszahl < a ist (für a= 1 ist A = 0), sodefinieren wir als die /-te Umgebung von [ k ] die Menge aller derjenigenPunkte [/?]. für die die Ungleichung

¿<ߣa

gilt.

Dieser Umgebungsdefinition gemäß sind alle Punkte [a], für die dieZahl a — 1 existiert, in R und in R * isoliert.

Außerdem ist

R*- [Û] =

Man erhält jetzt eine eindeutige und stetige Abbildung

(6) R* = f(R),

4 ) Für nicht kompakte Räume ist das trivial: es genügt z. B., die geradlinigeStrecke 0 < x < 1 eindeuig und stetig auf die Kreislinie abzubilden.