Abbildungen kompakter Räume.

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Punkte X* des Raumes R * sind Mengen X der Zerlegung (4), x* ~ X.

Umgebungen V(x*) entstehen folgendermaßen: es sei xq ein beliebigerPunkt des Raumes R*. Jedem die Menge X 0 ^x* enthaltenden GebieteG<=R entspricht dann eine bestimmte V (x*), die aus allen denjenigen x*besteht, derjen in G enthaltene X entsprechen.

Man sieht leicht ein, daß R"~ wirklich ein Raum ist (d. h. daß dieV(x*) allen im § 1 aufgestellten Umgebungsaxiomen geniigen).

Jede Zerlegung (4) eines Raumes induziert eine Abbildung desRaumes R auf den durch diese Zerlegung bestimmten Raum R"": manerhält diese induzierte Abbildung, indem man einfach

x*—f(x) für alle x<=X

setzt. Im allgemeinen braucht natürlich diese Abbildung nicht stetigzu sein.

4. Definition 2. Die Zerlegung (4) des Raumes R in zueinanderfremde abgeschlossene Mengen heißt stetig, falls zu einem beliebigen, irgend-eine Menge X 0 der Zerlegung (4) enthaltenden Gebiete G 1 aR ein GebietG 0 ^ X 0 sich derart bestimmen läßt, daß jede zu G n nicht fremde Menge Xder Zerlegung (4) in G 1 enthalten ist.

5. Folgender Satz ist beinahe selbstverständlich.

I. Die durch eine Zerlegung (4) induzierte Abbildung R* = f(R) istdann und nur dann stetig, falls die Zerlegung (4) stetig ist.

Es sei zuerst (4) eine stetige Zerlegung des Raumes R, R* der durch dieseZerlegung bestimmte Raum, R* = f (JE) die durch diese Zerlegung induzierte Ab-bildung, a 0 * ein beliebiger Punkt von R*, F(a;¡f) eine beliebige Umgebungvon x*, X 0 ein dieser Umgebung vermöge der Definition 1 entsprechendes

Gebiet in R, G 0 zj X 0 ein diesem Gebiete vermöge der Definition 2 entsprechendesTeilgebiet, x 0 irgendein zu A'„ gehöriger Punkt, und U (x a ) irgendeine in G () enthalteneUmgebung dieses Punktes. Dann ist jede zu U ( x 0 ) nicht fremde Menge X der Zer-legung (4) in Ctj enthalten, und also

f(U(x 0 ))cV(x 0 *),

d. h. die Abbildung R*=f(R) stetig.

Es sei umgekehrt die durch die Zerlegung (4) induzierte Abbildung R* — f(R)stetig. Es sei weiter A' 0 eine beliebige Menge X der Zerlegung (4), G x ein beliebiges,diese Menge enthaltendes Gebiet in R, V(x*) die zugehörige Umgebung des Punktes. t „* ~ X 0 , x 0 ein beliebiger Punkt vonl 0) U(x 0 ) eine der Inklusion f(U{x 0 )) c V(x$ )genügende Umgebung dieses Punktes, G 0 das durch Vereinigung der für alle Punktex n c: X 0 konstruierten, soeben erwähnten ü(x 0 ) gebildete Gebiet. Dann ist f(G 0 )cz V(x^);letztere Inklusion sagt aber nichts anderes aus, als daß jede mit G 0 gemeinsamePunkte besitzende Menge X der Zerlegung (4) in 6\ enthalten ist.

Der Satz I ist hierdurch bewiesen.

6. Falls uns zwei Räume R und R mit allen ihren Eigenschaftengegeben sind, so können wir entscheiden, ob der Raum R * ein stetiges Bild