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P. Alexandrofï.

Falls X und y zwei verschiedene Punkte des Raumes R sind, so gibtes eine zu y fremde U(x) und eine zu x fremde U(y).

2. Es seien jetzt zwei Räume R undiü*so einander zugeordnet, daßjeder Punkt x* des Raumes R* in eindeutiger Weise wenigstens einemPunkte x des Raumes R entspricht, m. a. W. daß eine Funktion

(1) x*=f(x), xczR, x*<=R"oder einfach

R* = f(R)

entsteht. Dann soll die Bildmenge einer in R gelegenen Menge M durch M*oder durch f(M) bezeichnet werden. Falls aber M * irgendeine in R * ge-legene Menge ist, so soll durch *M oder durch f~ 1 (M v ) die Urmengevon M*, d. h. die Menge aller Punkte von R, deren Bildpunkt x* zu M*gehört, bezeichnet werden.

Die Abbildung (1) heißt stetig"), falls für jede Menge M <= R dieBedingung

(2)

erfüllt ist. Indem man jeden Punkt der Menge M Berührungspunktvon M nennt, heißt die Bedingung (2), daß das Bild eines Berührungs-punktes (irgendeiner in R gelegenen Menge) immer ein Berührungspunktder Bildmenge ist. Letztere Bedingung sagt aber genau so viel aus wiedie folgende 3 ):

Falls x*=f(x) Bildpunkt von x ist, so gibt es zu jeder U(x*)eine U(x) von der Beschaffenheit, daß

(3) f(U(x))cz U(x*)ist.

3. Jede Abbildung R* = f(R) bestimmt eine Zerlegung des Raumes Rin zueinander fremde Mengen X= f~ x (te*), wobei x* ein beliebiger Punktdes Bildraumes R* ist. Falls dabei die gegebene Abbildung stetig war,so sind sämtliche Mengen X abgeschlossen.

Es liegt daher nahe, Zerlegungen

(4) R = £X

eines Raumes R in zueinander fremde abgeschlossene Mengen X a priorizu betrachten.

Definition 1. Die Zerlegung (4) eines Raumes R in zueinanderjremde abgeschlossene Mengen bestimmt folgendermaßen einen neuenRaum R*:

3 ) Vgl. Hausdorff, op. oit. S. 360, II. Die daselbst befindlichen Betrachtungengelten auch für den Fall eines abstrakten (nicht topologischen) Raumes.