Über stetige Abbildungen kompakter Räume*).

Von

Paul Alexandroff in Moskau.

1. Ein abstrakter Raum oder kurz ein Raum entsteht, wenn eine (ausirgendwelchen Elementen bestehende) Menge E und ein Gesetz vorliegt,so daß für jede (echte oder unechte) Teilmenge M von E die abgeschlosseneHülle M (die ebenfalls eine Teilmenge von E ist) eindeutig bestimmtwird, und dabei folgende Bedingungen 1 ) erfüllt werden:

I o Jede, höchstens aus einem Elemente von E bestehende Teilmenge Mist mit ihrer abgeschlossenen Hülle identisch.

2° (M) = M für eine beliebige Menge MaE.

3° {M + N) = M + Ñ.

Die Elemente von E werden auf diese Weise zu Punkten des Raumes R .

Eine Teilmenge von R heißt abgeschlossen, falls sie mit ihrer ab-geschlossenen Hülle identisch ist. Eine zu einer abgeschlossenen Menge Fkomplementäre Menge R — F heißt eine offene Menge (= ein Gebiet).

Nun ist es wesentlich, daß derselbe Raum R (d. h. dieselben Be-ziehungen M^M) sich aufstellen lassen, indem man als Umgebungen U(x)eines beliebigen Punktes xaR alle diesen Punkt enthaltenden offenenMengen betrachtet, und dann wie gewöhnlich (z. B. bei Hausdorff) denBegriff des Häufungspunktes einführt. Die so definierten Umgebungengenügen den ersten drei Hausdorff sehen Axiomen 2 ), das vierte soll aberdurch das folgende, schwächere, Axiom ersetzt werden:

*) Der erste, abstrakte, Teil der vorliegenden Arbeit ist mit den neueren Unter-suchungen von Frl. E. Noether aus dem Gebiete der allgemeinen Gruppentheorie naheverwandt und zum Teile durch diese Untersuchungen angeregt.

J ) Diese Bedingungen rühren von Fréchet und Fr. Riesz her. Siehe wegen derbetreffenden Literatur z. B. Fréchet, Sur les ensembles abstraits , Ann. Ec. Norm. (3),38 (1921), und insbesondere die daselbst zitierte, leider schwer zugängliche Arbeitvon Fréchet „Esquisse d'une théorie d'ensembles abstraits 11 , Sir Asutosh Mookerjeecommemoration volumes, t. 2; the Baptist Mission Press, Calcutta, 1921. Eine zu-sammenfassende Darstellung aller zum Fréchetschen Ideenkreise gehörenden Resultateerscheint demnächst als Buch in der Collection Borel.

2 ) Hausdorff, Grundzüge der Mengenlehre, Leipzig 1914, S. 213 u. ff.

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