554 P. Alexandroff. Kombinatorische Eigenschaften von Kurven.

Trotzdem können aber die erwähnten Kurven viele Singularitätennicht allzu elementarer Natur besitzen. So folgt aus Beispielen von Urysohnund Menger 41 ), daß jeder Punkt einer sogar einfach zusammenhängendenstetigen Kurve zu einem Häufungskontinuum gehören kann, daß die End-punkte gleichzeitig mit den Verzweigungspunkten eine überall dichte Mengebilden können u. dgl.

Insbesondere ist folgendes zu beachten. Nennen wir für einen Augen-blick Gewicht einer ( zu einer Kurve G gehörenden ) Menge M die endlicheoder unendliche Kardinalzahl 5] ind^ G (wobei die Summation über alle

¡teil/

xcM zu verstehen ist), so ist bekanntlich für jeden mehr als einen Bogenenthaltenden Bogenkomplex das Gewicht der Menge A aller Endpunktehöchstens gleich dem Gewichte der Menge V aller Verzweigungspunkte. Da-gegen folgt aus unsern Sätzen und den erwähnten Urysonschen Beispielen 41 ),daß im allgemeinen Falle einer endlich hoch zusammenhängenden stetigenKurve das Gewicht der Menge A den Wert c erreichen kann, obwohl dieMenge V höchstens vom Gewicht n 0 ist.

63. Falls G eine stetige Kurve unendlich hohen Zusammenhanges ist,so enthält C ein aus beliebig vielen Kreisen bestehendes irreduziblesSystem. Nun ist es leicht, eine Folge

© 3 , ..., © fc , ...

von Kreissystemen derart zu konstruieren, daß @ k ein k- Kreissystem ist,dessen sämtliche Kreise in © fc + 1 vorkommen (k — 1,2,... in inf.).

Das ergibt aber das folgende Resultat:

Jede unendlich hoch zusammenhängende stetige Kurve enthält einunendliches Kreissystem, in dem kein Nullsystem als Teilsystem vorkommt.

64. Es ist kaum zu hoffen, daß im allgemeinen Falle der unendlichhoch zusammenhängenden stetigen Kurven etwas Genaueres sich aussagenläßt: vor allem schon deshalb nicht,, weil eine stetige Kurve eine beliebigkomplizierte allgemeine Kurve enthalten kann.

Collioure (Pyrénées Orientales), Oktober 1925.

41 ) Urysohn, Verh. Akad. Amsterdam; Menger, 1. c. S. 285.

(Eingegangen am 1. 11. 1925.)