Kombinatorische Eigenschaften von Kurven.

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Korollar 5. Eine endlich hoch zusammenhängende stetige Kurveenthält kein Urysohnsches Verdichtungskontinuum 3B ).

Letzteres Ergebnis kann auch folgendermaßen formuliert werden 38 ):

Korollar 6. Jedes Teilkontinuum einer endlich hoch zusammen-hängenden stetigen Kurve ist eine stetige Kurve 39 ).

Da jeder Verzweigungspunkt der Kurve C entweder unter den (endlichvielen) Verzweigungspunkten der Kurve C 0 oder unter den Punkten a ¿]enthalten ist, so gilt der

Korollar 7. Für jeden Verztveigungspunkt v der Kurve C gibt eszueinander bis auf den Punkt v fremde, v als Endpunkt besitzende Bögen,und zwar ist die Anzahl dieser Bögen gleich der Verzweigungsordnungind t; C des Punktes v, falls letztere Zahl endlich ist. Falls aber ind^ A = coist, so gibt es unendlich viele zueinander bis auf v fremde Bögenvc l} vc 3 , ..., vc m , ... (deren Durchmesser selbstverständlich gegen Nullkonvergieren 40 )).

61. Indem wir die Kurve C 0 in endlich viele Bögen

TT T

1 ' 2' • * * 5 Wo

zerlegen, dann alle ... i k in eine einfache Folge

^m 0 +l> Tm 0+ 2, • • -i • • •

m

umordnen und dafür sorgen, daß L m = 2J für jedes m zusammen-

i= i

hängend ist, können wir folgenden Satz aussprechen:

Korollar 8. Jede endlich hoch zusammenhängende stetige Kurve Gkann bis auf eine aus lauter Endpunkten von G bestehende, höchstensnulldimensionale Gs-Menge J auf die Weise erbaut werden, daß manmit einem einzigen Bogen S i = L 1 anfängt und neue Bogen S m in endlich— oder abzählbar — vielen Schritten der Reihe nach anheftet, so daßdadurch gewöhnlichen Bogenkomplexen homöomorphe Kurven

j L^, L,2, ..., L vl , .. ., L m + 1 L m S m + 1 ( m = 1, 2, ... )

entstehen und jeder Bogen S m+1 bis auf seine Endpunkte zu L m fremdist. Dabei ist x(C) — 1 der Zahl derjenigen Schritte m gleich, bei denenbeide Endpunkte von S m + 1 zu L m gehören; außerdem ist lim à (ß m ) = 0.

m-> co

62. Durch diesen Satz wird eine weitgehende Analogie unter denendlich hoch zusammenhängenden stetigen Kurven und den gewöhnlichenBogenkomplexen zutage gebracht.

30 ) Dieser Satz ist zum erstenmal von Frau Rózañska bewiesen worden. (S. einedemnächst in den Amsterdamer Berichten erscheinende Arbeit.)

40 ) Durch Korollar 7 wird von dem von Menger (1. c. S. 302) gestellten Problemeine Teillösung geliefert.

Mathematische Annalen. 96. 36