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P. Alexandroff.

59. Die Konstruktion läßt sich auch für jeden Verzweigungspunkt v ider Kurve C 0 ausführen, nur muß man die Punkte x m auf den endlichvielen sich an v { anschließenden Bögen von C 0 wählen und auf x' und x"gänzlich verzichten. Wir erhalten dann insbesondere (falls v i von allen a¿,verschieden ist):

K = i t\ ViX ' n ,

m=1

wobei r die Anzahl der sich an v i anschließenden in C 0 enthaltenen Bögen(d. h. ind„ ( C 0 ) bedeutet.

60. Nun läßt sich aus den abgeschlossenen Mengen f,...»*, A

A/, i k , für jedes s eine e- Uberdeckung $ß (£) der Kurve G kon-struieren, deren sämtliche Zyklen in ein-eindeutiger Weise den in G 0 ent-haltenen Kreisen entsprechen. Daraus folgt aber, daß x = x (C 0 ) ist;da dies für beliebiges e gilt, ist x (C) <1 x (C 0 ), folglich x(C) = x(C 0 ),w. z. b. w.

Korollar 1. Damit eine stetige Kurve lc-fach zusammenhängendsei, ist notwendig und hinreichend, daß sie ein irreduzibles (Je—1 ) - Kreis-system und kein k-Kreissystem enthält.

Korollar 2. Es gibt keine unregelmäßig geschlossene stetige Kurve.Korollar 3. Die einzige geschlossene stetige Kurve ist der Kreis.(M. a. W. in derselben Weise, wie die Irreduzibilität und die Stetigkeitden einfachen Bogen charakterisiert 37 ), so charakterisiert die Geschlossen-heit und die Stetigkeit den (topologischen) Kreis.)

Dieses Ergebnis kann auch folgendermaßen formuliert werden:

Satz. Damit ein kompakter metrischer Raum G einer Kreisliniehomöomorph sei, ist notivendig und hinreichend, daß für jedes s > 0, G alsVereinigungsmenge eines Systems endlich vieler Kontinuen darstellbar sei,deren Durchmesser sämtlich < e sind und von denen jedes genau mitzwei anderen Kontinuen desselben Systems gemeinsame Punkte hat.Ein entsprechender Satz gilt auch für den einfachen Bogen.

Weitere Korollare des Hauptsatzes dieses Kapitels sind folgende:Korollar 4. Eine endlich hoch zusammenhängende stetige Kurveenthält höchstens abzählbar viele Verzweigungspunkte, die alle eine (begrenztoder unbegrenzt 3S )) endliche Ordnung haben.

Daraus ergibt sich:

3 ') Mazurkiewicz, Fund. Math. 1.

38 ) ein Punkt v von C heißt Punkt von „unbegrenzt endlicher Ordnung" (nachUrysohn ind„ C= a>, nach Menger Oi'dnung„ C= w), falls man für jedes £ > Ou mit

einer endlichen Punktmenge e — aussondern kann, deren Kardinalzahl mit i not-

e

wendig gegen oo strebt.